summation.

[man111]

If $\displaystyle f(m,n) = 3m+n+(m+n)^2$, then find the value of $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\sum_{m=0}^{\infty} \; 2^{-f(m,n)}$

[Cash]

Похоже, что область значений данной функции все четные числа, причем каждое значение принимается ровно один раз.

[Edward_Tur]

Поскольку каждое неотрицательное целое число представимо единственным образом в виде $(m+n)(m+n+1)/2+m$, где $m$ и $n$ - неотрицательные целые числа...

[man111]

can anyone explain it to me how can i solve it
Thanks

[Dave]

$$\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{m=0}^{\infty} 2^{-f(m,n)} = \{k=m+n\} = \sum_{k=0}^{\infty}\sum_{m=0}^k 2^{-f(m,k-m)} = \sum_{k=0}^{\infty}\sum_{m=0}^k 2^{-(k^2+k+2m)} = $$

$$= \sum_{k=0}^{\infty}\sum_{m=0}^k 2^{-2 \left(\frac {k(k+1)} 2 + m\right)} = \sum_{k=0}^{\infty}\sum_{m=0}^k 4^{-\left(\frac {k(k+1)} 2 + m\right)} = \left\{p=\frac {k(k+1)} 2 + m \right\} = \sum_{k=0}^{\infty}\sum_{p=\frac {k(k+1)} 2}^{\frac {k(k+1)} 2 +k} 4^{-p} = $$

$$ = \sum_{k=0}^{\infty}\sum_{p=\frac {k(k+1)} 2}^{\frac {k^2+3k+2} 2 -1} 4^{-p} = \sum_{k=0}^{\infty}\sum_{p=\frac {k(k+1)} 2}^{\frac {(k+1)(k+2)} 2 -1} 4^{-p} = \sum_{p=0}^{\infty} 4^{-p} = \sum_{p=0}^{\infty} \left(\frac 1 4 \right)^p = \frac 1 {1- \frac 1 4} = \frac 4 3$$

[man111]

Thanks Dave