Абсолютная непрерывность и липшицевость

[Nimza]

Рассмотрим отрезок $[a,b]$. Функция $f \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ называется абсолютно непрерывной, если для любого $\varepsilon > 0$ существует $\delta > 0$ такое, что для любой конечной системы непересекающихся множеств $\{(a_i,b_i)\}$ суммарной длины меньше $\delta$ следует, что $\sum\limits_i | f(b_i) - f(a_i) | < \varepsilon$.

Можно вместо конечного числа рассматривать не более чем счетные системы интервалов. А вот если отбросить требование с пустыми пересечениями, у нас получится определение липшицевости?

[ewert]

Nimza в сообщении #524617 писал(а):

А вот если отбросить требование с пустыми пересечениями, у нас получится определение липшицевости?

Не получится, естественно. Т.к., грубо говоря, липшицевость -- это ограниченность модуля производной в той мере, в какой она вообще имеет смысл (для просто дифференцируемых -- буквально так). Абсолютная же непрерывность -- это всего лишь интегрируемость модуля производной. Что, естественно, гораздо слабее.

В качестве банального контрпримера возьмите, скажем, просто $\sqrt[3]x$.

[Nimza]

Спасибо за разъяснение.