Несуществование случайного элемента

[Nimza]

Пусть задано вероятностное пространство $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$. Пусть $\mathcal{F}' \subset \mathcal{F}$. Как показать, что не каждая такая подсигма-алгебра порождена некоторым случайным элементом? То есть, что не факт, что существует измеримое пространство $(E,\mathcal{E})$ и отображение $X\colon \Omega \to E$ такое, что $X^{-1}(\mathcal{E}) = \mathcal{F}'$?

[_hum_]

Так а разве это правда? Возьмите $E = \Omega, \mathcal{E} = \mathcal{F}', X = Id$.

[Nimza]

Спасибо! А с нетождественными отображениями не известно, какой тут результат? Верно ли моё утверждение?

[_hum_]

Возьмем любую биекцию $\varphi: \Omega \rightarrow \varphi(\Omega)$ и положим $E = \varphi(\Omega), \mathcal{E} = \varphi(\mathcal{F}'), X = \varphi$. Такой вариант будет считаться вариантом с "нетождественным отображением"?

[Nimza]

Да, что-то я сглупил. Спасибо.