Непрерывность операторов

[Moonlord]

Как доказать лемму о непрерывности произведения операторов по совокупности аргументов
И где прочитать её,подскажите пожалуйста
И заодно где найти признак существования обратного оператора
$(I-A)^{-1},где I-единичная матрица.(На самом деле это как-то завязано с рядом Неймана)

[MaximVD]

Moonlord в сообщении #524158 писал(а):

И заодно где найти признак существования обратного оператора

Признак такой: $\| A \| < 1$ и тогда $(I - A)^{-1} = I + \sum_{n = 1}^{\infty} A^n$. Данный признак гарантирует сходимость ряда (если, конечно, "пространство образов" банахово), а то что этот ряд действительно определяет обратный оператор можно проверить следующим образом: взять частичную сумму ряда $B_N = I + \sum_{n = 1}^N A^n$ и посчитать $(I - A) B_N$ и $B_N ( I - A )$, а затем перейти к пределу.

[Moonlord]

С этим вопросом действительно спасибо, теперь остается вопрос про непрерывность произведения операторов по совокупности...

[MaximVD]

Moonlord
Сформулируйте, пожалуйста, эту лемму о непрерывности произведения операторов по совокупности аргументов. Не совсем понятно что именно вы хотите доказать.

[ewert]

MaximVD в сообщении #524165 писал(а):

Признак такой: $\| A \| < 1$

Фактически достаточно существенно более слабого требования: меньше единицы должен быть спектральный радиус оператора. При этом условии формальные манипуляции с рядом Неймана оказываются ровно настолько же корректными, что и при ограничении на просто норму. По этой причине, в частности, оказываются обратимыми такие разности с любым нильпотентным оператором, независимо от его нормы -- и, в частности, отсюда следует разрешимость любого интегрального уравнения Вольтерра (2-го рода).

Moonlord в сообщении #524158 писал(а):

Как доказать лемму о непрерывности произведения операторов по совокупности аргументов

Точно так же, как и существования предела произведения для просто числовых функций (или последовательностей): просто берём приращение произведений и тупо оцениваем его по норме. Другой вопрос -- как конкретно задавать норму на множестве пар операторов. Но значения он не имеет, т.к. все нормы в двумерном пространстве эквивалентны.

[Moonlord]

Честно говоря сам я точную формулировку не знаю,поэтому и спрашиваю
Ну как я понимаю,что имеется в виду,что если оператор $A$ непрерывен по своим переменным и оператор $B$ непрерывен по своим переменным, то и их произведение будет непрерывно по своим новым переменным(это так сказать формулировка на уровне интуиции)

-- 07.01.2012, 12:29 --

Moonlord в сообщении #524173 писал(а):

Другой вопрос -- как конкретно задавать норму на множестве пар операторов. Но значения он не имеет, т.к. все нормы в двумерном пространстве эквивалентны.

Ну я думаю,что меня просят не двумерное, а n-мерное пространство...Но там они все равно все эквивалентны
То есть это что ли просто вот так надо доказывать?
$||A(X+H)-A(X)||<\epsilon{_1}$
$||B(X+H)-B(X)||<\epsilon{_2}$
$||AB(X+H)-AB(X)||<?$
Теорему о пределах знаю как доказывать-грубо говоря можно так
$f->A$т.е. $f=A+\circ(1)$
$g->B$ т.е. $g=B+\circ(1)$
тогда просто перемножая получаем то , что нужно
А как с операторами надо?

[ewert]

Эта лемма допускает лишь одну разумную формулировку: если для последовательности пар операторов выполнено $(A_n,B_n)\to(A,B)$ (т.е. $\|(A_n,B_n)-(A,B)\|\to0$), то и $A_nB_N\to AB$ (т.е. $\|A_nB_n-AB\|\to0$).

Определим $\|(A,B)\|$ как $\|A\|+\|B\|$ (хотя можно и как $\sqrt{\|A\|^2+\|B\|^2}$, или как $\max\{\|A\|,\|B\|\}$, или ещё как-нибудь -- не имеет значения). Тогда

$$\|AB-A_nB_n\|=\|(A-A_n)B+A_n(B-B_n)\|\leqslant\|A-A_n\|\cdot\|B\|+\|A_n\|\cdot\|B-B_n\|\leqslant$$

$$\leqslant\mathrm{const}(\|A-A_n\|+\|B-B_n\|)=\mathrm{const}\|(A-A_n,B-B_n)\|\to0.$$

[Moonlord]

Спасибо вам огромное