Несобственные интегралы, зависящие о параметра

[tapochek]

посчитать интеграл $ \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{(x^2+y^2)^n} dy $ (см Зорич 2й том глава 7 задача 4 после 2го параграфа)

[ewert]

В каком конкретно Зориче?...

Можно попытаться с помощью стандартного рекуррентного (по $n$) соотношения. Но проще всего -- вычетами:

$=\pi i\mathop{\mathrm{Res}}\limits_{y=ix}\dfrac1{(y+ix)^n(y-ix)^n}=\dfrac{\pi i}{(n-1)!}\cdot\left.\left(\dfrac1{(y+ix)^n}\right)_y^{(n-1)}\right|_{y=ix}=\ldots$

$\ldots=\dfrac{\pi\,C_{2n-2}^{n-1}}{(2x)^{2n-1}}$

(если ничего не напутал).

[Padawan]

Можно так
$I_n(x)=\int\limits_0^{+\infty}\frac{1}{(x^2+y^2)^{n}}dy$, $I_1(x)=\int\limits_0^{+\infty}\frac{1}{x^2+y^2}dy=\frac{\pi}{2x}$, $I_n(x)=-\frac{1}{(n-1)2x}\frac{d}{dx}I_{n-1}(x)$, $n=2,3,...$, и по индукции.