Бросание монеты на беск. шахматную доску

[wallflower]

На бесконечную шахматную доску со стороной квадрата $a$ бросается наудачу монета радиуса $r<a/2$. Найти вероятности $p_k$ того, что монета будет иметь обшие точки только с $k$ квадратами, $k=1,...,4$.

У меня проблемы уже с $p_1$. Пусть $x$ -- расстояние от центра монеты до ближайшей горизонтальной линии. $y$ -- то же относительно вертикальной. Предполагаю (но обосновать не могу*), что все допустимые значения равновероятны. Вероятность определяю геометрически (см. заштрихованую область):



$p_1=\dfrac{a^2-(2r)^2}{a^2}$, но верный ответ $p_1=\dfrac{(a-2r)^2}{a^2}$. Где я ошибся?
___________
В учебника похожая задача (про иглу Бюффона) решается геометрически. Там положение иглы определяется расстоянием от центра до ближайшей прямой и углом наклона, но вот обоснования почему при случайном бросании эти параметры тоже "случайны" (то есть все допустимые значения равновероятны) -- не описано.

[Nemiroff]

Вы область неправильно нашли.

[wallflower]

$x$ и $y$ меняются от $-a/2$ до $a/2$. ОК?

Монета находится полностью внутри квадрата, если $x\in [-a/2,-r)\cup (r,a/2]$. То же с $y$. ОК?

[Nemiroff]

Цитата:

Монета находится полностью внутри квадрата, если $x\in [-a/2,-r)\cup (r,a/2]$. То же с $y$. ОК?

Нет, конечно. Из каких соображений вы это берете?

(Оффтоп)

Кстати, даже если было бы верно, вы не то событие взяли - вы посчитали вероятность противоположного.

[wallflower]

Я там немного ошибся: сначала говорил о расстоянии до прямой, а потом брал "координату" относительно неё (со знаком). Но ответ от этого не меняется. Дальше буду говорить о расстоянии.

Пусть монета целиком находится внутри квадрата (считаем $p_1$). Это значит, что расстояние от её центра до ближайшей прямой не может быть меньше $r$. То есть $x>r$. С другой стороны, по определению $x\le a/2$. В силу симметрии то же будет для $y$. Не понимаю -- где я тут неправду написал???

[Nemiroff]

Цитата:

Пусть монета находится внутри квадрата. Это значит, что расстояние от её центра до ближайшей прямой не может быть меньше $r$.

Согласен.

Цитата:

То есть $x>r$.

Во-первых, вы о каком событии говорите? Вы координату от центра считаете?

Допустим, есть квадрат с ребром длины один с центром в нуле, ориентированный параллельно осям.
Кидаем туда круг радиуса $0.1$. Вы правда думаете, что для того чтобы круг целиком лежал в квадрате, центр круга должен находиться на расстоянии по одной из осей не более $0.1$ от центра?

Может быть, все-таки от краев расстояние считать?

[wallflower]

Nemiroff в сообщении #524004 писал(а):

Может быть, все-таки от краев расстояние считать?

Шо то я вас не понял. Я ж от оных и считаю!

Nemiroff в сообщении #524004 писал(а):

Вы правда думаете, что для того чтобы круг целиком лежал в квадрате, центр круга должен находиться на расстоянии по одной из осей не более $0.1$ от центра?

Нет, конечно. Я такого не писал. Расстояние $x$ от ближайшей прямой от центра должно быть больше $r$ и не больше $1/2$ (верхняя граница для этого расстояния по определению). То есть вер-сть, что круг окажется целиком в квадрате по моим расчётам будет $\dfrac{0{,}5^2-0{,}1^2}{0{,}5^2}=0{,}96$.

[Nemiroff]

Это я вас не понял.
У вас на рисунке расстояние между краями внутреннего квадрата и внешнего не понятно какая. А должна быть $r$ по вашим словам.
То, что написано у вас вообще за гранью добра и зла.

[wallflower]

Вы просто мою картинку неверно интерпретировали! Большой квадрат -- это никоим образом не квадрат шахматной доски. Там же оси подписаны -- $x$ и $y$, а их я определил сразу. Вероятность я считаю геометрически. Заштрихованная область -- это область таких пар $(x,y)$, при которых монета целиком содержится внутри квадрата.

Да. См. также замечение про неточность чертежа. Так что надо мысленно взять только первую четверть его.

-- 06.01.2012, 21:55 --

[Nemiroff]

О, понял.

Так нарисуйте нормально клетку шахматной доски и отметьте там точки подходящие.

А у вас ошибка в том, что расстояние не меньше $r$ должно быть по любой из осей, а не по обеим сразу. Так тоже можно получить правильный ответ.

[wallflower]

Дошло.