Теория вероятностей. Помогите разобраться в задачах.

[Castolo]

1)Каждая из n палок разламывает на две части - длинную и короткую. Затем из 2n обломков образуется n новых пар. Найти вероятность того, что пары будут объединены в первоначальном порядке.
2)Выбираем наугад один член разложения определителя n-го порядка. Какова вероятность того, что он не содержит элементов главной диагонали?
3)Среди большего количества пряников 2% горьких. Пряники пакуются в пакеты по три штуки. Какова вероятность того, что в двух наугад выбранных пакетах одинаковое число горьких пряников.

В третьей задаче, думаю, можно отдельно посчитать вероятности того, что будет по одному, по два и по три горьких пряника, и их сложить. А по поводу первых двух задач, был бы рад услышать хотя бы, куда примерно копать... задачи вроде простые, просто у меня, по ходу, гуманитарный склад мышления - ниче в тервере не понял.

[svv]

В первой задаче допустимо считать, что, например, длинные части палок остаются на месте, а короткие пристраиваются к ним в каком-то порядке. То есть можно рассматривать только короткие палки и считать, что $i$-я палочка заняла место $a_i$.

А сколько всего существует разных вариантов расположения в ряд для $n$ коротких палок?

[Castolo]

Ну число перестановок. n! , нет?

[svv]

Точно! (Сейчас окажется, что Вы прирожденный математик)
Пусть $n=4$, тогда число перестановок будет $n!=24$, их даже выписать все не так уж сложно.
А какова вероятность, что из этих $24$ возможных перестановок маленьких палочек (под неподвижными большими) реализуется именно одна такая: $(1,2,3,4)$?
Ну, или даже просто одна какая-то перестановка, неважно какая.

[Castolo]

Ну 1/n! будет, правильно понимаю?

[svv]

Вы меня прямо пугаете. Совершенно верно!

Три рассеянных профессора $A,B,C$ случайным образом надевают три шляпы $a,b,c$. Найти вероятность, что каждый наденет свою шляпу.
Варианты одевания:
$Aa\; Bb\; Cc$
$Aa\; Bc\; Cb$
$Ab\; Bc\; Ca$
$Ab\; Ba\; Cc$
$Ac\; Ba\; Cb$
$Ac\; Bb\; Ca$
Как видите, только один вариант из шести правильный, т.е. вероятность $\frac 1 6$
По Вашей формуле: $\frac 1 {3!} = \frac 1 6$

Как Вы поняли, профессор -- это та длинная часть палки, а шляпа -- это та короткая часть палки (или наоборот). Математически здесь отношения те же самые.

[Castolo]

Спасибо большое. Как Вы думаете, по поводу третьей задачи у меня верный ход мыслей?

[arseniiv]

Мне кажется, правильный. Только не забудьте, что в пакет может попасть и 0 горьких пряников!

-- Сб янв 07, 2012 00:29:21 --

А то самый вкусный расклад забыли почему-то.

[Castolo]

Кстати да, спасибо. Теперь бы ещё разобраться во второй задаче, был бы вообще мёд.

[arseniiv]

Каждый элемент определителя $n+1$-го порядка входит в разложение столько раз, сколько членов в разложении определителя $n$-го порядка. Хотя на этом пути вроде ничего путного не получается — надо попробовать рекуррентную формулу сразу для вероятности. (Ведь каждое слагаемое в определителе состоит не из одного элемента, а из произведения, и всегда есть слагаемое, содержащее все элементы диагонали. Т. е. не так просто всё считается, если начинать отсюда.)

Наверняка есть простой способ, но в голову не приходит.

[Castolo]

Да, должно быть проще.

[--mS--]

По второй задаче. Из всех перестановок набора $(1,\ldots,n)$ следует брать только те, где никакое число не осталось на своём месте. Ничего не напоминает задача?

[Castolo]

Видать я совсем тупой. Не напоминает почему-то.

[--mS--]

Поищите "Задачу о беспорядках" в гугле.

[Castolo]

Почему-то не вижу связи между этими задачами. Мне кажется что просто ответ 50 процентов. По крайней мере это справедливо для определителей второго и третьего порядка.