Два числа из трёх

[Ktina]

Учёба, сон, личная жизнь - выбери два из трёх!

Верно ли, что из любых трёх попарно различных целых чисел можно выбрать два различных числа $n$ и $m$ такие, что $n^3m-m^3n$ делится нацело на 10?
(из румынских олимпиад)

[nnosipov]

Ktina в сообщении #523574 писал(а):

Верно ли, что из любых трёх целых чисел можно выбрать два различных числа $n$ и $m$ такие, что $n^3m-m^3n$ делится нацело на 10?

Нет, неверно, так как из трёх одинаковых два различных выбрать будет затруднительно.

[Ktina]

nnosipov в сообщении #523578 писал(а):

Ktina в сообщении #523574 писал(а):

Верно ли, что из любых трёх целых чисел можно выбрать два различных числа $n$ и $m$ такие, что $n^3m-m^3n$ делится нацело на 10?

Нет, неверно, так как из трёх одинаковых два различных выбрать будет затруднительно.

Вот досада, забыла добавить "попарно различных", немедленно исправлю.

[nnosipov]

Ktina в сообщении #523581 писал(а):

Вот досада, забыла добавить "попарно различных", немедленно исправлю.

Тогда верно, и это очевидно.

[Ktina]

nnosipov в сообщении #523585 писал(а):

Ktina в сообщении #523581 писал(а):

Вот досада, забыла добавить "попарно различных", немедленно исправлю.

Тогда верно, и это очевидно.

(Оффтоп)

(Не моё)
Профессор читает лекцию по математике. Выписывает на доске длиннющую, совершенно необозримую формулу и заявив: "Отсюда с очевидностью следует..." выписывает еще более громоздкую формулу. На минуту задумывается, потом, извинившись, выходит из аудитории. Примерно через полчаса возвращается и, небрежно бросив на кафедру кипу исписанной бумаги, заявляет:
- Да, это действительно очевидно, - и продолжает лекцию.

[nnosipov]

(Оффтоп)

Ну, остатки от деления на 5 можно и в уме перебрать. А уж чётность этой разности ... Видимо, эта задача с районных румынских олимпиад.

[Ktina]

nnosipov в сообщении #523593 писал(а):

(Оффтоп)

Ну, остатки от деления на 5 можно и в уме перебрать. А уж чётность этой разности ... Видимо, эта задача с районных румынских олимпиад.

Во-вторых, не с районных, а с румынского отбора на международку.
А во-первых, можно не перебирать остатки.
Чётность и вправду очевидна. Если хотя бы одно из чисел кратно пяти, то задача решена. Если имеются два одинаковых остатка на 5, то задача тоже решена. Теперь пусть остатка 0 нет и все три остатка разные. Тогда пара (2, 3) решает задачу, а если её нет, то обязана быть пара (1, 4), которая также решает задачу.