2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Два числа из трёх
Сообщение05.01.2012, 21:45 
Аватара пользователя


01/12/11
8373
Учёба, сон, личная жизнь - выбери два из трёх!

Верно ли, что из любых трёх попарно различных целых чисел можно выбрать два различных числа $n$ и $m$ такие, что $n^3m-m^3n$ делится нацело на 10?
(из румынских олимпиад)

 Профиль  
                  
 
 Re: Два числа из трёх
Сообщение05.01.2012, 21:49 
Заслуженный участник


20/12/10
5870
Ktina в сообщении #523574 писал(а):
Верно ли, что из любых трёх целых чисел можно выбрать два различных числа $n$ и $m$ такие, что $n^3m-m^3n$ делится нацело на 10?
Нет, неверно, так как из трёх одинаковых два различных выбрать будет затруднительно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два числа из трёх
Сообщение05.01.2012, 21:52 
Аватара пользователя


01/12/11
8373
nnosipov в сообщении #523578 писал(а):
Ktina в сообщении #523574 писал(а):
Верно ли, что из любых трёх целых чисел можно выбрать два различных числа $n$ и $m$ такие, что $n^3m-m^3n$ делится нацело на 10?
Нет, неверно, так как из трёх одинаковых два различных выбрать будет затруднительно.

Вот досада, забыла добавить "попарно различных", немедленно исправлю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два числа из трёх
Сообщение05.01.2012, 21:56 
Заслуженный участник


20/12/10
5870
Ktina в сообщении #523581 писал(а):
Вот досада, забыла добавить "попарно различных", немедленно исправлю.
Тогда верно, и это очевидно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два числа из трёх
Сообщение05.01.2012, 22:00 
Аватара пользователя


01/12/11
8373
nnosipov в сообщении #523585 писал(а):
Ktina в сообщении #523581 писал(а):
Вот досада, забыла добавить "попарно различных", немедленно исправлю.
Тогда верно, и это очевидно.

(Оффтоп)

(Не моё)
Профессор читает лекцию по математике. Выписывает на доске длиннющую, совершенно необозримую формулу и заявив: "Отсюда с очевидностью следует..." выписывает еще более громоздкую формулу. На минуту задумывается, потом, извинившись, выходит из аудитории. Примерно через полчаса возвращается и, небрежно бросив на кафедру кипу исписанной бумаги, заявляет:
- Да, это действительно очевидно, - и продолжает лекцию.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два числа из трёх
Сообщение05.01.2012, 22:06 
Заслуженный участник


20/12/10
5870

(Оффтоп)

Ну, остатки от деления на 5 можно и в уме перебрать. А уж чётность этой разности ... Видимо, эта задача с районных румынских олимпиад.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два числа из трёх
Сообщение05.01.2012, 22:15 
Аватара пользователя


01/12/11
8373
nnosipov в сообщении #523593 писал(а):

(Оффтоп)

Ну, остатки от деления на 5 можно и в уме перебрать. А уж чётность этой разности ... Видимо, эта задача с районных румынских олимпиад.

Во-вторых, не с районных, а с румынского отбора на международку.
А во-первых, можно не перебирать остатки.
Чётность и вправду очевидна. Если хотя бы одно из чисел кратно пяти, то задача решена. Если имеются два одинаковых остатка на 5, то задача тоже решена. Теперь пусть остатка 0 нет и все три остатка разные. Тогда пара (2, 3) решает задачу, а если её нет, то обязана быть пара (1, 4), которая также решает задачу.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group