Матъиндукция

[dnoskov]

Вотъ что мне предлагается решить методом матъиндкции:

$$ \left(\frac{n^2+1}{n^2}\right)^n \geqslant \frac{n+1}{n}\quad \Gamma(n) $$

Вотъ что я делаю:
Базис — понятно: $n=1 \Rightarrow \frac{2}{1}\geqslant\frac{2}{1}$
Пусть $\Gamma(n)$ верна при $n=k$, тогда, если $\Gamma(n)$ верна для $n \in \mathbb{N}$, то: $\Gamma(k)\Rightarrow\Gamma(k+1)$, т.е.:

$$\left(\frac{k^2+1}{k^2}\right)^k \geqslant \frac{k+1}{k} \Rightarrow \left(\frac{(k+1)^2+1}{(k+1)^2}\right)^{k+1} \geqslant \frac{k+2}{k+1}$$

И всё. Дальше не умею. Если бы это было неравенство вроде Бернулли (т.е. без переменной под степенью), тогда и соображать не надобно. А тут я что-то не соображу как быть. Дайте пожалуйста верный тычок, а я завтра покумекаю.

[Sonic86]

А что, если пытаться доказывать
$\left(\frac{n^2+1}{n^2}\right)^{n^2} \geqslant \left( \frac{n+1}{n} \right)^n$?

[ewert]

dnoskov в сообщении #523535 писал(а):

Вотъ что мне предлагается решить методом матъиндкции:

$$ \left(\frac{n^2+1}{n^2}\right)^n \geqslant \frac{n+1}{n}\quad \Gamma(n) $$

Ну, мать-её-индукция (и даже без оной) однозначно подсказывает, что с ростом эн левая часть стремится к единице, правая же -- отнюдь, и даже откровенно уходит в бесконечность. Так что подправьте чего-нибудь в Консерватории.

[nnosipov]

ewert, с правой частью всё в порядке, она тоже стремится к единице. Да и с неравенством тоже всё хорошо.

[Legioner93]

(Оффтоп)

ewert
Я тоже сначала подумал, что там умножение на гамма-функцию

[JMH]

(Оффтоп)

Ненормативная лексика, однако $\Gamma(n)$, которая не гамма-функция, базис, который не базис, мать - индукция, которая не мать

[ewert]

Ну а я о чём? Надо что-то в консерватории подправить: или окружить гамма-функцию скобками, или поставить её в начало и снабдить двоеточием.

Вообще же задачка, конечно, издевательская. Т.е. само по себе неравенство $\left(1+\frac1{n^2}\right)^n>1+\frac1n$ очевидно следует из бинома Ньютона. А вот доказывать его по индукции -- морока ещё та.

Можно, впрочем, и не прибегать к помощи Ньютона, если обратить внимание на то, что доказываемое неравенство следует из неравенства $(1+a)^n>1+na$, верного для любого вещественного $a>0$ и любого натурального $n>1$ (не обязательно натурального, конечно, но нам нужны именно натуральные). И вот последнее-то действительно очевидным образом доказывается по индукции.

[dnoskov]

ewert, я вас люблю, чего же боле, что я могу ещё сказать, теперь я знаю, в вашей воле, меня презреньем наказать…

Ну да, да. $\Gamma(n)$ есть на самом деле гипотеза, только писана не там и не так. "Базис" — из учебника термин и из БСЭ. И, господа, знаки "твёрдый" Ъ и "мягкый" Ь отличаются хвостиком.

Всем спасибо!

[arseniiv]

(О написании терминов насчёт индукции.)

А я вот видел «базу индукции», так теперь везде и пишу «база … переход». Не знаю, кто-нибудь возьмёт почитать и не поймёт… У нас на парах почему-то всё по-русски и длинновато на счёт индукции выражаются.

[dnoskov]

Есть ещё одна задача проиндукцию.

Докажите, что для того чтобы узнать номер страницы в книге, имеющей $m$ страниц, задавая вопросы, на которые задумавший страницу должен отвечать только нет или да, потребуется задать $n$ вопросов, где $2^n \leqslant m < 2^{n+1}$.

Я разумею так, что при любом количестве страниц $1 \leqslant n \leqslant m$, так что, в крайних случаях выходит бред: $2\leqslant m < 4$ при $n=1$, или $2^m\leqslant m < 2^{m+1}$, при $n=m$.

Расшифруйте, пожалуйста, что здесь к чему? Что значит "потребуется"?

[svv]

Пусть в книге $2^4=16$ страниц. Тогда мне хватит $4$ вопросов. Это может выглядеть так. Пусть Вы задумали страницу $7$. Я спрашиваю:
-- Номер страницы от $1$ до $8$ (включительно)?
-- Да.
-- Номер от $1$ до $4$?
-- Нет.
(Ага, думаю, значит, от $5$ до $8$)
-- Номер от $5$ до $6$?
-- Нет.
(Значит, от $7$ до $8$)
-- Номер $7$?
-- Угадали.

Для начала: метод отгадывания понятен?

[dnoskov]

svv, а, ну раз так, то есть о чём поразмыслить.

Я сперва подумал, что можно спрашивать только об одной странице за раз...

[arseniiv]

(Кстати, этот метод можно найти под названием бинарный/двоичный поиск.)