Операторы

[Moonlord]

У меня есть оператор
Прошу показать, как на его пример можно доказать его линейность, ограниченность и сосчитать его норму
Оператор следующий:
Ax=A($x_1,$x_2,$x_3,...,$x_n,...)=(0,$x_1,$x_2,...)

[sergei1961]

в учебниках написано

[Moonlord]

В каких подскажите?Я нигде не нашел.Мне просто важно хотя бы на одном примере понять, как это делать, а дальше само пойдет

[JMH]

Давайте по шагам. Что такое линейность оператора? Запишите, пожалуйста в виде формулы. А потом подставьте Ваш оператор.

[Moonlord]

Оператор A будет линейным если
A({c_1}*{x_1}+{$c_2}*{$x_2})={c_1}A({x_1})+{c_2}A({x_2}), где X1 и X2-вектора
Это так?
Если да-то надо ведь теперь расписать эти вектора через координаты в некотором базисе?

AKM:

Заменил
[math]A({c_1}*{x_1}+{$c_2}*{$x_2})={c_1}A({x_1})+{c_2}A({x_2})[/math], где X1 и X2-вектора
на
$A(c_1 x_1+c_2 x_2)=c_1A(x_1)+c_2A(x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ - вектора:

Оператор $A$ будет линейным, если
$A(c_1 x_1+c_2 x_2)=c_1A(x_1)+c_2A(x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ - вектора.
Здесь рассказано, как набирать формулы

[JMH]

Так, а теперь берёте Ваш оператор сдвига и применяете к $c_1\mathbf{x} + c_2\mathbf{y}$, где $\mathbf{x}=(x_1,\dots,x_n,\dots), \mathbf{y}=(y_1,\dots,y_n,\dots)$. Выполняется условие линейности?

[Moonlord]

А как его норму посчитать,?

[JMH]

А как определена норма на данном (операторов) линейном векторном пространстве?

[Moonlord]

хм...Это неопределено,я не знаю...Видимо надо выбрать какую-то?

[Dan B-Yallay]

Moonlord в сообщении #523699 писал(а):

хм...Это неопределено,я не знаю...Видимо надо выбрать какую-то?

берите стандартную норму $\|A\|=\diasplaystyle\sup\limits_{x\in X}\frac{\|Ax\|}{\|x\|}$-просто и и без претензий..
осталось самая малость - выбрать норму в $X$ и можно начинать решать саму задачу.

[ewert]

Dan B-Yallay в сообщении #523704 писал(а):

осталось самая малость - выбрать норму в $X$

Он в любой из человеческих норм изометричен.