Компактность [0,1] с заданной метрикой

[bauka]

компактно ли [0,1] с метрикой, заданной так: $d(x,y)=1$, если $x \ne y$, $d(x,x)=0$.

[gris]

Это дискретное топологическое пространство. Его компактность равносильна конечности, так что увы...

[bauka]

gris в сообщении #523022 писал(а):

так что увы

это наоборот хорошо

[ewert]

bauka в сообщении #523121 писал(а):

это наоборот хорошо

Чего ж хорошего. Возьмите в лоб любую последовательность разных точек (ну например строго монотонную) и попытайтесь извлечь из неё хоть что-то сходящееся.

[gris]

А разве это не очевидно из самого определения компактности? Каждая точка является открытым множеством, а все они, попарно не пересекаясь, образуют покрытие отрезка.
Попытайтесь извлечь из него хоть что-то конечное.

[ewert]

(Оффтоп)

gris в сообщении #523296 писал(а):

А разве это не очевидно из самого определения компактности?

Смотря что называть компактностью. А раз пространство метрическое -- всё равно что.

[gris]

Я-то по синей книжечке (К,Ф) всё больше. А там компактность вводится вначале для топологических пространств. А для метрических, по-моему, компактность рассматривается в топологическом смысле (с индуцированной топологией), а вполне ограниченность и полнота доказывается как необходимое и достаточное условие.
Хотя есть ещё предкомпактность. В общем, надо освежить познания