Цепь Маркова

[PavelVl]

Доброго времени суток!!!
Подскажите что не правильно делаю?
Дан размеченный граф состояний системы
$\xymatrix{S_2\ar[rd]_{0,3}\ar[rr]^{0,6}&&{S_1}\ar[ld]^{0,2}\\&S_3\ar[ul]_{0,3}}$
Необходимо найти вероятность состояния системы после первого , второго шага , если в начальный момент времени система находилась в состоянии $S_2$
Решение:
Находим матрицу переходных вероятностей
$ \left( \begin{array}{ccc} {0,8} &{0}&{0,2} \\ {0,6}&{0,1}&{0,3}\\ {0}&{0,3}&{}0,7 \end{array} \right)$
Т.к. граф в начальный момент находиться в состоянии $S_2 \\ P_1(0)=0,6;P_2(0)=0,1;P_3(0)=0,3\\ P_1(1)=P_1(0)P_{11}=0,48\\ P_2(1)=P_1(0)P_{12}+P_2(0)P_{22}=0,11\\ P_3(1)=P_1(0)P_{13}+P_2(0)P_{23}+P_3(0)P_33=0,26$
Все правильно или нет???

[--mS--]

Нет. Сумма полученных вероятностей после двух шагов (почему, кстати, время в скобках - 1, а не 2? Исправить нужно.) не равна единице. Это значит, что какие-то переходы не учтены. Например, выйдя из 2, оказаться после двух шагов в состоянии 1 можно двумя путями: $2\to2\to1$ и $2\to1\to1$. Вы учли только второй.

Вообще, матрица вероятностей переходов за $k$ шагов $P^{(k)}=P^k$ есть $k$-я степень матрицы вероятностей перехода за шаг. Вектор вероятностей системе находиться в её состояниях после $k$ шагов есть произведение вектора-строки начальных вероятностей и матрицы вероятностей перехода за $k$ шагов:

$$(P_1(k),\ldots,P_n(k)) = (P_1(0),\ldots,P_n(0))\cdot P^{(k)}.$$

Или, что то же самое, произведение вектора-строки вероятностей системе находиться в её состояниях после $k-1$ шага и матрицы вероятностей перехода

$$(P_1(k),\ldots,P_n(k)) = (P_1(k-1),\ldots,P_n(k-1))\cdot P.$$

Поэтому один раз умножили вектор-строку $(0,\,1,\,0)$ начальных вероятностей на матрицу переходных вероятностей - получили вектор $(0.6,\, 0.1,\, 0.3)$ вероятностей после первого шага. Второй раз умножите - получите вектор вероятностей после второго шага.

[PavelVl]

Спасибо добрый человек !!!)