Без нулей.

[Sirion]

Верно ли, что отношения натуральных чисел, не имеющих нулей в своей десятичной записи, распределены всюду плотно на $\mathbb{R_+}$?

[Руст]

нет конечно.

[Sirion]

И откуда это становится очевидно?

[Руст]

в интервале (0,1) все числа начинаются с 0,.... или в интервале (0,0.1) все числа 0.0...
Ой! вы спрашиваете про отношения натуральных чисел. Они плотны, достаточно доказать, что для любого рационального числа $\frac ab$ и для любого n существует множитель $q$, что первые n цифр чисел $qa,qb$ не нули. Можно доказать по индукции по n, постепенно увеличивая ее значение.

[Dave]

Руст в сообщении #522982 писал(а):

в интервале (0,1) все числа начинаются с 0,.... или в интервале (0,0.1) все числа 0.0...
Ой! вы спрашиваете про отношения натуральных чисел. Они плотны, достаточно доказать, что для любого рационального числа $\frac ab$ и для любого n существует множитель $q$, что первые n цифр чисел $qa,qb$ не нули. Можно доказать по индукции по n, постепенно увеличивая ее значение.

А где гарантия, что с ростом $n$ число $q$, а соответственно и количество цифр в $qa$ и $qb$ не будет расти ещё быстрее? Нам ведь нужно, чтобы все цифры, а не только $n$ были ненулевыми.

[Sirion]

Да, я рассуждал таким же образом. Просто не очень хотелось копаться в цифрах, обосновывая индукционный переход - там всё немного мерзко. Подумал, вдруг я упустил какое-то более общее соображение, которое избавило бы от этой необходимости.

Dave, если первые n цифр ненулевые, то, заменяя оставшиеся нули на единицы, с ростом n мы получим сколь угодно малую погрешность.