больше-меньше и вероятность угадать

[crmath]

Есть такая задача:
Я выбиpаю два случайных числа и говоpю вам одно из них. Вам нужно угадать больше оно или меньше втоpого числа. Есть ли метод более пpодуктивный чем случайный ответ "меньше" или "больше" (т.е. с веpоятностью пpавильного ответа больше чем 0.5)?

И есть ответ на неё:
Выберите любую совокупную функцию вероятности P ($x$) такую что при a>b P (а)>P (b).
Тогда, если первое число y, то второе будет меньше с вероятностью P (y) и больше с вероятностью 1-P (y). Эта стратегия дает вероятность угадывания > $\frac{1}{2}$, так как вероятность правильного ответа: $\frac{1}{2} \cdot ((1-P (a)) + P (b)) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot (P (b) -P (a))$, что $> \frac{1}{2}$.

Ответ абсолютно непонятен. Как по мне, вообще какой-то бред, но я не математик :)
Просьба объяснить. Спасибо.

[--mS--]

crmath в сообщении #522691 писал(а):

Я выбиpаю два случайных числа
...
Как по мне, вообще какой-то бред, но я не математик :)

О, боги, снова две шкатулки...
Давайте сначала выясним, о чём речь, а то, может, и не стоит эту тему развивать. Можете объяснить, как Вы будете выбирать два случайных числа? Можно начать с того, что вообще понимается под "случайным числом".

[crmath]

Числа выбираются по некоторому алгоритму, известному только тому, кто их загадывает.
Решающему алгоритм неизвестен.

[--mS--]

Да, задача сформулирована криво. Некто написал на бумажке два числа, одно меньше другого, и наугад выбрал бумажку и показал Вам. Ваша задача - угадать, меньшее или большее число из двух осталось на второй бумажке.

Итак, есть $a<b$ - данные неизвестные числа, и показывают нам или $a$, или $b$, с равными вероятностями. В решении предлагается задаться любой монотонно возрастающей функцией распределения $F(x)$, и, глядя на число $y$ (то ли $a$, то ли $b$) на бумажке, говорить, что второе меньше, с вероятностью $F(y)$, и больше - с вероятностью $1-F(y)$.

Что значит "говорить то-то или то-то с такой-то вероятностью" - это значит, нужно проводить дополнительный эксперимент, кидая косую монетку, выпадающую гербом/решкой с заданными вероятностями (ГСЧ, да как угодно), и давать ответ в зависимости от того, что выпало.

Тогда по формуле полной вероятности вероятность угадать есть вероятность угадать, если число на бумажке - это $b$, умножить на вероятность этого, и плюс вероятность угадать, если число на бумажке - это $a$, умножить на вероятность этого:

$$\mathsf P(\textrm{угадать}) = \mathsf P(\textrm{сказать

$$=F(b) \frac12+(1-F(a)) \frac12.$$

[crmath]

Спасибо, стало понятно.