ТеорВер - Показательное распределение

[eg__13]

Условие задачи:
Независимые случайные величины $\xi $ и $\eta$ имеют одинаковое показательное распределение с параметром \alpha.
Найти функции распределения и плотности распределения случайных величин: а) \xi^3; б) min\{\xi^3, \eta\}; в) max\{\xi^3, \eta\}.

Вот то, до чего получилось дойти самому:
Т.к. случайные величины \xi и \eta имеют одинаковое показательное распределение, то по определению

p_{\xi}(x)=p_{\eta}(x)=\alpha e^{-\alpha x}.

а)F_{\xi}(x)=F_{\eta}(x)=\int_0^xp(t)\,dt=1-e^{-\alpha x};(x>0)

F_{\xi^3}(x)=P(\xi^3<x)=P(\xi<\sqrt[3]{x})=F(\sqrt[3]{x})=1-e^{-\alpha \sqrt[3]{x}};
p_{\xi^3}(x)=\frac{\alpha}{3\sqrt[3]{x^2}} e^{-\alpha \sqrt[3]{x}}.

В общем-то ничего сложного. Но вот пункты б и в ну никак мне не даются! Ума не приложу, что с этими минимумами и максимумами Помогите, кто чем может) хоть какую-нибудь подсказку!

[--mS--]

eg__13 в сообщении #522539 писал(а):

F_{\xi^3}(x)=P(\xi^3<x)=P(\xi<\sqrt[3]{x})=F(\sqrt[3]{x})=1-e^{-\alpha \sqrt[3]{x}};
p_{\xi^3}(x)=\frac{\alpha}{3\sqrt[3]{x^2}} e^{-\alpha \sqrt[3]{x}}.

Область изменения $x$ не забыли указать?

По поводу максимумов и минимумов. Что означает неравенство $\max(a,b)<x$ для $a$ и $b$?

[eg__13]

Цитата:

Область изменения $x$ не забыли указать?

Я так понимаю, что $x>0$ у нас всегда.


$F_{max\{\xi^3, \eta\}}(x)=P(max\{\xi^3, \eta\}<x)=P\Biggl(\left\{\begin{matrix}\xi^3 < x &,\;\xi^3> \eta \\ \eta < x &,\;\xi^3 < \eta.\end{matrix}\right.\Biggr)= $

$ =\left\{\begin{matrix} F_{\xi^3}(x) &,\; \xi^3> \eta \\ F_{\eta}(x) &,\; \xi^3 < \eta.\end{matrix}\right. =\left\{\begin{matrix} 1-e^{-\alpha \sqrt[3]{x}} &,\; \xi^3> \eta \\ 1-e^{-\alpha x} &,\; \xi^3 < \eta.\end{matrix}\right. $

Это единственное, что пришло в голову.
Тоже самое я показывал своей преподавательнице по ТВ и МС, она сказала, что не это неправильно и отправила думать дальше. Правда намекнула, что в системе не должно быть условий $\xi^3> \eta$ и $\xi^3 < \eta$, потому как у нас зависимость от $x$.
Так вот и дальше мне не сообразить, как все грамотно записать
И даже не знаю, правильный ли у меня ход мыслей

[--mS--]

Предлагаю Вам всё же дать ответ на заданный наводящий вопрос, я его ещё усилю: $\max(a,b,c,d,\ldots)<x$ - что это означает для $a$, $b$, $c$, $d$ и т.д.?
А третье равенство в цепочке вверху не просто неверно, а вообще абсурдно: вероятность не является функцией от элементарных исходов.

[eg__13]

Это означает, что числа $a, b, c, d...$ меньше, чем $x$
Только я все равно не соображу, что нам это дает)

[ewert]

eg__13 в сообщении #522644 писал(а):

Только я все равно не соображу, что нам это дает)

Ограничения на максимум и минимум двух величин дают, соотв., вероятности объединения или пересечения пары событий, каждое из которых относится к только одной из этих величин. Что конкретно чему соответствует -- уж разберитесь, пожалуйста, самостоятельно.

[--mS--]

eg__13 в сообщении #522644 писал(а):

Это означает, что числа $a, b, c, d...$ меньше, чем $x$

Вот, используя это, и находите функцию распределения максимума.

[eg__13]

$F_{max\{\xi^3, \eta\}}=P(max\{\xi^2, \eta\}<x)=P \big((\xi^3<x)\cap(\eta<x) \big) $
$F_{min\{\xi^3, \eta\}}=P(min\{\xi^2, \eta\}<x)=P \big((\xi^3<x)\cup(\eta<x) \big) $
Правильно я понимаю?

А как мне дальше перейти к функции?
В случае с максимумом вроде бы понятно: события независимы, поэтому $P \big((\xi^3<x)\cap(\eta<x) \big)=P(\xi^3<x)\cdot P(\eta<x)=F(\sqrt[3]{x})\cdot F(x)=$ (по найденному ранее) $=F_{\xi^3}(x)\cdot F_{\eta}(x)$
А с минимумом не совсем ясно. События-то совместны и расписать объединение как сумму нельзя.

[--mS--]

Давайте, Вы сначала разберётесь с тем, что такое объединение и пересечение событий?
А уже потом вероятность объединения (если таковая возникнет) найдёте либо из свойств вероятности, либо перейдя к противоположному событию.

[eg__13]

Так, вот до чего я дошел в итоге с Вашей помощью:

$F_{max\{\xi^3, \eta\}}=P(max\{\xi^2, \eta\}<x)=P \big((\xi^3<x)\cap(\eta<x) \big)= $

$=P(\xi^3<x)\cdot P(\eta<x)=F(\sqrt[3]{x})\cdot F(x)=F_{\xi^3}(x)\cdot F_{\eta}(x);$



$F_{min\{\xi^3, \eta\}}=P(min\{\xi^2, \eta\}<x)=P \big((\xi^3<x)\cup(\eta<x) \big) =$

$=P(\xi^3<x) + P(\eta<x) - P \big((\xi^3<x)\cap(\eta<x) \big)=$

$=F_{\xi^3}(x)+ F_{\eta}(x)-F_{\xi^3}(x)\cdot F_{\eta}(x)$

Скажите пожалуйста, правильно ли я написал?

[--mS--]

Правильно. Два замечания:
1) Перед max и min ставим слэш: сравните $\max$ vs $max$, $\min$ vs $min$.
2) Формула для вероятности объединения событий хороша для двух событий, а если их станет больше, формулой включения-исключения пользоваться уже не захочется. Лучше перейти к противоположному событию.

[eg__13]

Спасибо большое и искреннее!
замечания учту!