Выпишем площади прямоугольников, получающихся при разбиении, в порядке возрастания:

. Из того, что в каждом прямоугольнике белых и чёрных клеток поровну, следует, что все эти числа чётны. Из того, что прямоугольники разбивают шахматную доску, следует, что сумма их площадей равна площади шахматной доски, т.е.

. Пусть

,

,

. Тогда все

- целые неотрицательные числа и

,

, а сумма

выражается так:

Значит

. Отсюда следует, что при

разбиений быть не может. При

сумма

должна принимать значение

, чему соответствуют такие пять наборов

:

,

,

,

,

, которым соответствуют такие наборы

:

,

,

,

,

Последний набор нереализуем, ибо площадь

может соответствовать только прямоугольнику

, который невозможно "втиснуть" в шахматную доску по линиям сетки. Первые же четыре набора реализуемы, например, так:


При этом, поскольку у каждого прямоугольника в любом разбиении есть чётная сторона, то, очевидно, чёрных и белых клеток в нём будет поровну.
Ответ: a) 7; б) 4 способами.