Задача из функц. анализа про множество внутренних точек

[ventola1912]

Доказать, что множество всех внутренних точек произвольного множества А, совпадает с объединением всех открытых множеств, содержащихся в А.

[Руст]

Внутренность А определяется как дополнение замыканию дополнения А, следовательно открытое множество, содержащееся в А. В то же время очевидно, что если B открытое множество из А, то любая точка из B имеет окрестность ( можно взять B ) не пересекающуюся с дополнением А, поэтому она не принадлежит замыканию дополнения А. Следовательно, любая точка из B принадлежит внутренности А, т.е. внутенность содержит любое открытое множество, содержащиеся в А. Соответственно, внутренность А есть максимальное открытое множество, содержащее любое открытое множество из А. Объединение открытых множеств, содержащихся в А, содержится в А и является открытым, следовательно принадлежит внутренности А.