Интеграл вида Exp(- i k x)

[FFFF]

Здравствуйте! Хочу понять, чему равно

$$\int e^{i \mathbf{k x}} d^3 k$$

Интеграл берётся по сфере $0<k<k_{F}$
Мои действия: перехожу к сферическим координатам, перед интегралом за счёт интегрирования по углам вылезаем $4 \pi$, далее выбираю координаты так, чтобы вектор $x$ перешёл в $(r,0,0)$, тогда от скалярного произведения останется $k r$ и в итоге получаю интеграл

$$\int_0^{k_F} k^2 e^{i k r} d k$$

Это не согласуется с ответом, который должен получиться (очевидно, что после интегрирования останутся мнимые части)

$$4 \pi \frac{\sin{r k_{F}} - r k_F \cos{r k_F}}{r^3}$$

Где я ошибся? Наверное, я неправильно понял обозначения, которые приняты в физике. Это самая первая задачка из Киттеля.

[Утундрий]

FFFF в сообщении #522238 писал(а):

далее выбираю координаты так, чтобы вектор ... перешёл в ...

Декартовы.

FFFF в сообщении #522238 писал(а):

тогда от скалярного произведения останется ...

В декартовых.

FFFF в сообщении #522238 писал(а):

и в итоге получаю интеграл...

Оп-ля, интегрируем уже внезапно в сферических.

АккуратнЕй надо промежду координатьями скакать.

[mihiv]

При интегрировании по углам изменяется угол между векторами $\mathbf k$ и $\mathbf x$,при этом изменяется и скалярное произведение $\mathbf {kx}$.

[Munin]

FFFF в сообщении #522238 писал(а):

Мои действия: перехожу к сферическим координатам, перед интегралом за счёт интегрирования по углам вылезаем $4 \pi$, далее выбираю координаты так, чтобы вектор $x$ перешёл в $(r,0,0)$, тогда от скалярного произведения останется $k r$

Распишите вот это место поподробнее. Как у вас от скалярного произведения остаётся нечто без косинуса угла между исходными векторами $\mathbf{k}$ и $\mathbf{x}$?

[Утундрий]

(Оффтоп)

В декартовых у него остается... Вообще, заблудиться в двух деревьях (системах координат) - это надо уметь...

[Munin]

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #522339 писал(а):

Вообще, заблудиться в двух деревьях (системах координат) - это надо уметь...

Для вас это, может быть, пройденный этап, а для студента - нет. Вы, например, даже не замечаете, что не очевидно, как поворот вектора $\mathbf{x}$ должен отразиться на векторе $\mathbf{k}$ (на них можно смотреть как на лежащие в разных пространствах, к чему подталкивает и их разная физическая размерность).

[FFFF]

Окей, спасибо!
Кажется я понял в чём ошибка: сначала надо повернуть декартовы координаты так, чтобы $\mathbf{x}$ смотрел по направлению $k_z$, а потом уже переходить в сферические и интегрировать. Займусь=)

А вообще стыдно конечно.

[whiterussian]

FFFF в сообщении #522345 писал(а):

А вообще стыдно конечно.

Не ничего стыдного в том, что вы задаете вопросы. Вы идете правильным путем.

Сыдно должно быть тем, кто не помнит, как сам делал ошибки.

[Утундрий]

FFFF в сообщении #522345 писал(а):

сначала надо повернуть декартовы координаты так, чтобы $\mathbf{x}$ смотрел по направлению $k_z$, а потом уже переходить в сферические и интегрировать.

Да.

А чтобы возникало поменьше мутных вопросов, считайте что не поворачиваете с.к., а с нуля ее так красиво вводите, чтобы весь вон тот "икс" торчал строго "туда".

[Munin]

Другой подход (менее наглядный, но более надёжный против ошибок): не "вводить систем координат с нуля", а расписать исходное выражение $\mathbf{kx}=k_xx+k_yy+k_zz,$ и дальше просто аккуратно работать с буковками. Если вам надо, можете перейти от переменных $(x,y,z)$ к переменным $(x',y',z'),$ так что они были бы равны $(x',y',z')=(r,0,0),$ но заметьте, что при этом на исходные $(x,y,z)$ вы никаких ограничений накладывать не можете, и потом вам рано или поздно придётся сделать обратное преобразование.

-- 02.01.2012 21:53:45 --

P. S. Строго говоря, $0<k<k_{F}$ - это интегрирование не по сфере, а по шару (внутренности сферы), редакторам Киттеля, может быть, и простительно такое пропустить, но для себя запомните и не приучайтесь к неправильной терминологии.

[FFFF]

Разобрался, ответ получил, всем ещё раз спасибо!
Стыдно, потому как месяца два назад "добил" первый том "Современной геометрии", решал упражнения, сейчас без практики всё выветривается=(
Поворот СК выполнился легко, т.к. его якобиан равен единице, $\mathbf{k x}$ превратилось в $k_{z} r$ ($\mathbf{x}$ превращал в $z$), дальше перешёл в сферические, здесь как раз вылез и якобиан и поменялось скалярное произведение, дальше интеграл просто берётся.

Про сферу - на самом деле внутренность сферы - первое, что заметил в условии=)

[Munin]

FFFF в сообщении #522398 писал(а):

без практики всё выветривается

Это верно (и особенно остро на сроках в десятки лет, а не пару месяцев). Но лечится: берёте учебник, по которому когда-то штудировали, и не стесняясь, переделываете азбучные упражнения, пока пальцы не вспомнят технику.