Объясните замену переменных в дифференциальном уравнении

[alexey007]

Привет всем! И всех с наступившим Новым годом!!!!

Читаю статью, в которой в уравнении
${\sigma}y''+\frac{{\sigma}y'}{x}-ay=0$
с дополнительным условием $y(\infty)=0$
делается какая, то замена и получается решение в виде $y=M_{0}(x\sqrt{a/{\sigma}})$

Я никак не могу понять почему аргумент имеет вид $x\sqrt{a/{\sigma}}$

Помогите разобраться.

[ewert]

alexey007 в сообщении #522197 писал(а):

Я никак не могу понять почему аргумент имеет вид $x\sqrt{a/{\sigma}}$

Первые два слагаемые однородны по иксам, поэтому линейная замена $t=\gamma x$ изменяет коэффициенты при них, оставляя их, тем не менее, одинаковыми. Следовательно, можно подобрать такую замену, что все вообще коэффициенты сократятся. Конкретно:

$t=\gamma x\quad\Rightarrow\quad \sigma y''_{tt}\cdot(t'_x)^2+\dfrac{\sigma y'_{t}}{t}\cdot\gamma\cdot t'_x-ay=0\quad\Leftrightarrow\quad \gamma^2\sigma y''_{tt}+\dfrac{\gamma^2\sigma y'_{t}}{t}-ay=0,$

вот и берём $\gamma^2\sigma=a$.

[alexey007]

Спасибо, разобрался)))