Почти простой трёхчлен

[Ktina]

Найти наименьшее натуральное $n$, при котором $n^2-n+11$ является произведением не менее четырёх (не обязательно различных) простых чисел.

[Lunatik]

n=132

[Руст]

Если $p|n^2-n+11$, то р -нечетное простое для которого $(\frac{-43}{p})=1$. Таковыми являются $p=11,13,17,23,31,37,...$ соответственно при $n=0\mod 11,n=\frac{1\pm 3}{2}\mod 13,n=\frac{1\pm 5}{2}\mod 17$. При $n=132$ значение $11^3*13$, соответственно при меньших значениях n не может делится на 4 указанного вида простых.

[Ktina]

Lunatik в сообщении #521966 писал(а):

n=132

Есть очень красивое доказательство того, что $n=132$ - действительно наименьшее
Доказывается (по арифмосту), что наш трёхчлен не может делиться ни на одно простое, меньшее 11.
Два наименьших почти простых 4-го порядка, не делящихся на $p<11$ - это $11^4$ и $11^3\cdot 13$
Первое не годится, поскольку n получается нецелым, а второе, очевидно, годится.

-- 01.01.2012, 16:26 --

Руст в сообщении #521968 писал(а):

Если $p|n^2-n+11$, то р -нечетное простое для которого $(\frac{-43}{p})=1$. Таковыми являются $p=11,13,17,23,31,37,...$ соответственно при $n=0\mod 11,n=\frac{1\pm 3}{2}\mod 13,n=\frac{1\pm 5}{2}\mod 17$. При $n=132$ значение $11^3*13$, соответственно при меньших значениях n не может делится на 4 указанного вида простых.

Опередили меня на одну минуту