Критерий $\mathbb N$

[arqady]

Пусть $A$ - множество всех таких натуральных чисел $a$, для которых $4a$ и $[\sqrt{a}]$ принадлежат $A$.
Докажите, что $A=\mathbb N$.

[Shadow]

Т.к $[\sqrt{a}]$ принадлежит А, то 1 принадлежит А. Значит все кратные 4 принадлежат А. Пусть b наименьшее натуральное, непринадлежащее А. Тогда все числа (последовательные) от $b^2$ до $(b+1)^2$ тоже не принадлежат А. Их не может быть больше 3, т.е $(b+1)^2-b^2<4, b \leqslant 1$. Т.е не существует такoe b.
Upd

Цитата:

Значит все кратные 4 принадлежат А

Это несразу следует.

[arqady]

Shadow в сообщении #521786 писал(а):

Т.к $[\sqrt{a}]$ принадлежит А, то 1 принадлежит А. Значит все кратные 4 принадлежат А.

Может, Вы имеете в виду, что все степени $4$ принадлежат $A$? Но тогда Ваше рассуждение не проходит.

[Dave]

$A=\varnothing$ тоже подходит при таком рекурсивном определении . Может условие должно звучать так?
$A$- непустое подмножество натуральных чисел, такое, что для всех $a$ из $A$ числа $4a$ и $[\sqrt{a}]$ также принадлежат $A$. Докажите, что $A=\mathbb N$.

[arqady]

Dave
Как Вам угодно!

[MrDindows]

У нас на матбоях была похожая задача, там только корень был кубический, и все степени девятки, а не четвёрки=)
Доказывал примерно как Dave, но надо продолжать возводить в квадраты, тоесть:
Если нету $b$, то нету $ b^2 \ ... \ (b+1)^2-1$
А значит и $ b^4 \ ... \ (b+1)^4 -1$ тоже нету
А значит и $ b^8 \ ... \ (b+1)^8-1$
И тд.
Остаётся только доказать что в одном из этих промежутков наверняка есть степень четвёрки, что равносильному тому, что для любого натурального $b$ найдётся такое $n$, что $\frac{(b+1)^{2n}-1}{b^{2n}}>4$. А это очевидно=)

[Shadow]

MrDindows в сообщении #521827 писал(а):

что в одном из этих промежутков наверняка есть степень четвёрки

Да и степень 2-ки достаточна. Точнее $4^ka \text{ где } a\in A, a<b$ Если посмотреть в 4-ичной системе счисления на числo $(b+1)^4-1$, то его старшая цифра и будет это а.
При $b>3$, а тройка легко показывается

[Shadow]

Я опять написал непроверенное предположение. Далеко не всегда $b^4 \text{ и } (b+1)^4$ отличаются старшей цифрой в 4-значной системе счисления. У меня такое убеждение, что 4-ая степень достаточна. Хочется проверить гипотезу: Для любого натурального b>1 найдутся натуральные a<b и k, такие что
$b^4\leqslant 4^ka<(b+1)^4$
Я проверил несколько, почти всегда решение единственое.

[Sonic86]

Shadow в сообщении #521900 писал(а):

Хочется проверить гипотезу: Для любого натурального b>1 найдутся натуральные a<b и k, такие что
$b^4\leqslant 4^ka<(b+1)^4$
Я проверил несколько, почти всегда решение единственое.

Это верно. Найдите длину интервала, оцените максимальную степень $k$ множителя 4 у чисел на этом интервале и просто оцените частное $\frac{b^4}{4^k}$. Даже немного видно, почему решений часто именно одно.
УПД: по-моему даже 4 можно заменить на любое натуральное число (степень $b$ = основанию степени $k$).

[Shadow]

Sonic86 в сообщении #521904 писал(а):

УПД: по-моему даже 4 можно заменить на любое натуральное число

Для второй степени не проходит интервал $[3^2;4^2)$
Не существуют $a.2^n \in [9;15] a<3$ Дальше в интервале 16-24 единственное $3.2^3$ дальше думаю всегда найдется.

[Sonic86]

Shadow в сообщении #521923 писал(а):

Для второй степени не проходит интервал $[3^2;4^2)$

Ммм: $12=2^2 \cdot 3$ - ну тогда $a \leqslant b$. Ну может я сильно грубо посмотрел
А, точно, там же надо было брать не $[\log _4 ((b+1)^4-b^4)]$, а $[\log _4 ((b+1)^4-b^4-4+1)]$ - тогда при малых $b$ или $4$ не всегда получается Но при $b \geqslant b_0$ это верно, $b_0$ невелико и мы его можем ручками найти.