Trigonometric product

[man111]

Find value of $\displyatyle \cos (\theta)\times\cos (2\theta)\times\cos (3\theta)................\times\cos (999\theta) =$

If $\displaystyle \theta = \frac{\pi}{1999}$

(without using complex number)

[Руст]

Use $\cos x=\frac{\sin 2x}{2\sin x}$:

$$\prod_{k=1}^{999}\cos kx}=2^{-999}\prod_{k=1}^{999}\frac{\sin (2k\theta)}{\sin k\theta}=2^{-999},$$

bekause if $k>499$, then $\sin{2k\theta}=\sin{(1999-2k)\theta}$.

[Whitaker]

Руст решение действительно красивое, но задам один вопрос:
Почему Ваше произведение равно $1$?
Я не понял этот момент

[Руст]

Сверху произведение тех же синусов, только в другом порядке.

[Whitaker]

Руст спасибо! Теперь понятно!
А так решение изящное!

[man111]

thank pyct