Исследование на сходимость ряда.

[Dmitriy174]

Необходимо исследовать на сходимость ряд:

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{\cos\sqrt n}}{\sqrt {1+n^2}}$$

Как я понимаю, $$3^{\cos\sqrt n} будет в промежутке $$[\frac{1}{3};3]

Значит,

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3\sqrt {1+n^2}}\leq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{\cos\sqrt n}}{\sqrt {1+n^2}}\leq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{\sqrt {1+n^2}}$$

С каким рядом сравнивать? с $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3n} ?

Он расходится, а значит и ряд больший, то есть $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{\cos\sqrt n}}{\sqrt {1+n^2}} будет расходиться?

[Sonic86]

Dmitriy174 в сообщении #521542 писал(а):

С каким рядом сравнивать? с $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3n}$ ?

Используйте предельный признак сравнения.

[Dmitriy174]

То есть, мы рассматриваем ряд $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3n}.
Он меньше исходного и расходится. И остается вычислить предел отношения исходного ряда и рассматриваемого?

[Sonic86]

Да, например.

[ewert]

Достаточно грубо оценить снизу:

$\dfrac{3^{\cos\sqrt n}}{\sqrt{1+n^2}}>\dfrac1{3\sqrt{n^2+n^2}}=\dfrac{\mathrm{const}}{n}$.