Среднее и медиана, асимптотика совместного распределения

[alisa-lebovski]

Господа, не знает ли кто-нибудь теорем об асимптотическом совместном распределении выборочного среднего и выборочной медианы (когда их теоретические значения различны, а дисперсия конечна)? Подозреваю, что оно двумерное нормальное, но остается ли ненулевая корреляция? Пыталась делать прямо, через явные выражения для ковариаций и дисперсий порядковых статистик, но получается жутко громоздко.

[--mS--]

Мне кажется, обычная многомерная ЦПТ в схеме серий должна отлично сработать. Совместное распределение (далее $\frac{k}{n} =\frac12+o(\tfrac{1}{\sqrt{n}})$) представляется в виде

$$\mathsf P\left (\sqrt{n}(X_{(k)}-\mu) < t, \sqrt{n}(\overline X - a) < s\right) = \mathsf P\left (\sum_1^n I\left(X_i < \tfrac{t}{\sqrt{n}} + \mu\right)\geqslant k, \ \sqrt{n}(\overline X - a) < s\right).$$

Можно применить ЦПТ для двумерных векторов $\xi_{1,n},\ldots,\xi_{n,n}$ с координатами $\xi_{i,n}(1)=\frac{X_i-a}{\sqrt{n}}$ и

$$\xi_{i,n}(2)=\frac{I\left(X_i < \tfrac{t}{\sqrt{n}} + \mu\right) - F\left(\tfrac{t}{\sqrt{n}} + \mu\right)}{\sqrt{n}}.$$

[--mS--]

Ну да, и сразу же получается предельное двумерное нормальное распределение с ковариацией координат

$$\frac{\mathsf E(a-X_1) I(X_1 < \mu)}{f(\mu)}=\frac{\mathsf E|X_1-\mu|}{2f(\mu)}.$$

На самом деле лучше брать вторые координаты такие:

$$\xi_{i,n}(2)=\frac{-I\left(X_i < \tfrac{t}{\sqrt{n}} + \mu\right) + F\left(\tfrac{t}{\sqrt{n}} + \mu\right)}{f(\mu)\sqrt{n}}.$$

Тогда совместное распределение можно переписать в виде

$$\mathsf P\left (\sqrt{n}(X_{(k)}-\mu) < t, \sqrt{n}(\overline X - a) < s\right) = \mathsf P\left (\sum_1^n \xi_{i,n}(2) \leqslant \sqrt{n}\frac{F\left(\tfrac{t}{\sqrt{n}} + \mu\right) - \frac{k}{n}}{f(\mu)}, \ \sum_1^n \xi_{i,n}(1) < s\right).$$

Правая часть первого неравенства под знаком вероятности стремится к $t$ с ростом $n$:

$$\sqrt{n}\frac{F\left(\tfrac{t}{\sqrt{n}} + \mu\right) - \frac{k}{n}}{f(\mu)} = \sqrt{n}\frac{F\left(\tfrac{t}{\sqrt{n}} + \mu\right) - F(\mu)+o( \frac{1}{\sqrt{n}})}{f(\mu)} = t+o(1) \ \text{ при } \ n\to\infty,$$

поэтому осталось просто применить двумерную ЦПТ в схеме серий:

$$\mathsf P\left (\sqrt{n}(X_{(k)}-\mu) < t, \sqrt{n}(\overline X - a) < s\right) \to \mathsf P(\eta_1 < t, \, \eta_2< s), \ \text{ где } \ \sum_1^n \xi_{i,n} \Rightarrow \eta = (\eta_1, \eta_2)^T \sim N_{\vec{0}, \Sigma},$$

где $\Sigma$ есть матрица с диагональными элементами $\sigma_{11}=\frac{1}{4f^2(\mu)}$ и $\sigma_{22}=\mathsf DX_1$, а элемент $\sigma_{12}$ есть предел суммарной ковариации

$$\sum_1^n\,\textrm{cov}(\xi_{i,n}(1),\xi_{i,n}(2))=\frac{\mathsf E(a-X_1)I\left(X_i < \tfrac{t}{\sqrt{n}} + \mu\right)}{f(\mu)}\mathop{\rightarrow}\limits_{n\to\infty}\frac{\mathsf E(a-X_1) I(X_1 < \mu)}{f(\mu)}=\frac{\mathsf E|X_1-\mu|}{2f(\mu)}.$$

Последнее равенство - так, для красоты. Оно с первого взгляда не очевидно, но, клянусь, верно :)

Медиана тут, или иная выборочная квантиль фиксированного (не нулевого и не единичного) уровня - не суть важно, константы поменяются.

[alisa-lebovski]

Спасибо. С Новым годом!