Интересная задача

[Keter]

В книге «Как решают нестандартные задачи» авторов А. Я. Канель-Белова и А. К. Ковальджи на странице 71 приведена задача № 34:

Докажите, что если $n$ пробегает все натуральные числа, то $\big[n+\sqrt {n+0,5} \big]$ пробегает все натуральные значения, кроме точных квадратов.

Покажите, что условие задачи неверно. Исправьте выражение $\big[n+\sqrt {n+0,5} \big]$ так, чтобы утверждение стало верным, и решите задачу в исправленном виде.

-- 29.12.2011, 14:03 --

При $n=3$ имеем $\big[ 3+\sqrt{3+0,5} \big]=4=2^2$

-- 29.12.2011, 14:19 --

И это выражение точно не пробегает все натуральные значения.

$n = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9;$
$S(n) = 2; 3; 4; 6; 7; 8; 9; 10; 12$

Выходит, что $S$ принимает все натуральные значения, кроме $1$ и кроме $S(k^2)-1$, где $n=k^2, k \in \mathbb{N}$

[Shadow]

Чтобы функция $[n+\sqrt{n+a}]$ "пробегала" все натуральные числа кроме квадратов, необходимо (но не достаточно) чтобы
$f(1)=2, f(3)=5, f(7)=10, f(13)=17...$ Или $f(x^2-x+1)=x^2+1, \forall x \in N$

$x^2+1\leqslant x^2-x+1+\sqrt{x^2-x+1+a}<x^2+2$

Решая неравенство, получается $x-1 \leqslant a <3x, \forall x \in N$. Понятно, что a не может быть константой. Но при $a=x$ например (есть еще свобода, неполностью анализировал) получится

$\displaystyle \left[n+\sqrt{n+\frac{1+\sqrt{4n-3}}{2}}\right]$

которая "пробегает" все натуральные, кроме квадратов

[Shadow]

Но это только при условии, что функция должна быть вида $[n+\sqrt{n+a}]$ Но это вряд ли, так что подходит
$\displaystyle \left[n+\frac{1+\sqrt{4n-3}}{2}\right]$