Теорема. Всякий непрерывный линейный функционал на
![$C^n[-1,1]$ $C^n[-1,1]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/1/d/41d1547d3e2cc8c4aac24a24ce14c99882.png)
имеет вид
![$$\psi\circ\frac{d^n}{dx^n}+\sum_{i=0}^{n-1}\lambda_i\delta^{(i)}(0),\quad \psi\in(C[-1,1])'$$ $$\psi\circ\frac{d^n}{dx^n}+\sum_{i=0}^{n-1}\lambda_i\delta^{(i)}(0),\quad \psi\in(C[-1,1])'$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/c/2/4c2864fa6ffcc1fc3450d6ced31e74fb82.png)
где

-- числа,

-- производные

функции.
Доказательство.
Обозначим
![$C_0=\{f(x)\in C^n[-1,1]\mid f(0)=f'(0)=\ldots =f^{(n-1)}(0)=0\}$ $C_0=\{f(x)\in C^n[-1,1]\mid f(0)=f'(0)=\ldots =f^{(n-1)}(0)=0\}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/9/5/89527bcecd2c8154c62152050a8fba8782.png)
-- банахово пространство относительно
![$C^n[-1,1]$ $C^n[-1,1]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/1/d/41d1547d3e2cc8c4aac24a24ce14c99882.png)
- нормы.
Рассмотрим оператор
![$A=\frac{d^n}{dx^n}:C_0\to C[-1,1]$ $A=\frac{d^n}{dx^n}:C_0\to C[-1,1]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/e/c/7ec49a3f09545bdd92e98163e6b597df82.png)
это изоморфизм, следовательно [Эдвардс, Функциональный анализ] оператор
![$A':(C[-1,1])'\to C'_0$ $A':(C[-1,1])'\to C'_0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/2/1/e21a45c4ddd78324f9ba45e21ed0ecb882.png)
является отображением "на".
Пусть
![$\eta\in (C^n[-1,1])'$ $\eta\in (C^n[-1,1])'$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/f/9/8f97e1859d084377d5eeb53abecce01f82.png)
тогда

Первое слагаемое в правой части этой формулы можно трактовать как линейный функционал на

т.е.

Однако, в силу высказанного замечания, найдется
![$\psi\in (C[-1,1])'$ $\psi\in (C[-1,1])'$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/1/e/11e2e93d340e24b956091f5af46ab85a82.png)
такой, что

Таким образом,

И остается положить

.
ЧТД