Ограниченная функция, удовлетворяющая Δu = u

[sxdxfan]

Здравствуйте, помогите пожалуйста разобраться с задачей:
Нужно доказать, что если функция $u(x), x\in $\mathbb R$ ^3$ удовлетворяет уравнению $\Delta u = u(x)$ в $ $\mathbb R$ ^3$ и оценке $|u(x)| \leqslant C, x \in $\mathbb R$^3$, то $u $ тождественно равна нулю в $ $\mathbb R$ ^3$.

Мои соображения: для уравнения эллиптического типа $\Delta u + cu = 0$ фундаментальным решением при $u$ не равным тождественно нулю будет $u(M) = \frac{e^{-\kappa r}}{r}$, где $c = -\kappa^2 < 0$, а $r$ - расстояние от точки $M$ до начала координат. в моей задаче $\kappa = 1, r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$, значит $u(x,y,z) = \frac{e^{-\sqrt{x^2+y^2+z^2}}}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$. такая функция не ограничена, при $x, y, z \to 0$ функция $u \to \infty$. но по условию $|u(x,y,z)|<C$ на $ $\mathbb R$ ^3 \Rightarrow$ противоречие, $u$ равно нулю тождественно.

Я считаю, что в моих рассуждениях есть прокол, любые предложения приветствуются

-- 27.12.2011, 23:22 --

Меня очень смущает использование теории для уравнений эллиптического вида, которые ни в каком виде не обсуждались на семинарах, я бы пробовал использовать метод Фурье, разделение переменных, но семинарист попросил доказать задачу более общо, придти к противоречию с предположением о не тождественном равенстве нулю указанной выше функции

[svv]

Можно определить функцию $P(r)=\int\limits_{B_r} u\;dV$, то есть интеграл от $u$ по шару радиуса $r$ с центром в нуле. Для этой функции, пользуясь уравнением $\Delta u = u$ и интегральными теоремами, можно вывести ОДУ, из которого видно, что если решение хорошо ведет себя в нуле, то оно экспоненциально растет на бесконечности. Если подобный метод заинтересует, можно поговорить подробнее.

[sxdxfan]

пожалуй нет.
вот другой вариант:

Предположим противное: пусть $u(x)$ ненулевая и ограниченная. Без ограничения общности считаем, что максимум $u(x)$ больше нуля (иначе рассматриваем минимум), возможен один из двух вариантов:
1) есть направление, пределом по которому $u(x)$ достигает максимума, либо
2) есть точка экстремума, где производные нулевые и достигают максимума.
В первом случае возьмем точки на направлении, фиксируем и возьмем новое направление от каждой точки, возьмем вторые производные по этому новому направлению в фиксированной точке, после чего расфиксируем и устремим к достижению максимума $u(x)$.
Во втором случае просто берем вторую производную по любому направлению от данной точки. Получаем: в первом случае в пределе, а во втором - максимум просто достигается, тогда выше введенные производные будут отрицательными, либо равными нулю, но сумма трех отрицательных или равных нулю функций строго меньше положительного максимума $u(x)$, противоречие, конец доказательства.

[Oleg Zubelevich]

sxdxfan в сообщении #520800 писал(а):

Здравствуйте, помогите пожалуйста разобраться с задачей:
Нужно доказать, что если функция $u(x), x\in $\mathbb R$ ^3$ удовлетворяет уравнению $\Delta u = u(x)$ в $ $\mathbb R$ ^3$ и оценке $|u(x)| \leqslant C, x \in $\mathbb R$^3$, то $u $ тождественно равна нулю в $ $\mathbb R$ ^3$.

преобразование Фурье

-- Ср дек 28, 2011 17:44:10 --

sxdxfan в сообщении #521013 писал(а):

Предположим противное: пусть $u(x)$ ненулевая и ограниченная. Без ограничения общности считаем, что максимум $u(x)$ больше нуля (иначе рассматриваем минимум

а почему этот максимум\минимум обязан существовать?

[sxdxfan]

Oleg Zubelevich в сообщении #521038 писал(а):

а почему этот максимум\минимум обязан существовать?

я написал ниже, что либо он явно существует, либо функция возрастает и стремится к "максимуму" в пределе. в силу ограниченности, при стремлении к максимуму вторые производные меньше или равны нулю.
из равенства лапласиана функции ей же самой получаем при предположении неотрицательности функции, что единственный возможный случай - тождественный.

p.s. у Вас почему-то в цитате моего сообщения синтаксические ошибки

-- 28.12.2011, 18:12 --

грубо говоря, для наглядности, в одномерном случае $u(x), x \in $\mathbb R$ $, функция либо имеет экстремум, и тогда все понятно, либо возрастает при $x \to \infty$, но ограничена, и, как учат в школе, она выпукла вверх, вторая производная отрицательна

-- 28.12.2011, 18:16 --

либо возрастает при $x \to -\infty$, константе функция уж точно не может быть равна - тогда из условия с лапласианом сразу получили бы требуемое

-- 28.12.2011, 18:18 --

Oleg Zubelevich в сообщении #521038 писал(а):

преобразование Фурье

как я и написал, семинарист требует использование других методов в данной конкретной задаче

[svv]

sxdxfan, соглашайтесь на мой метод.

[sergei1961]

Фурье только от ограниченной функции во всём пространстве? Проблем не будет?

[sxdxfan]

svv
не очень понятно, как именно применять интегральные теоремы (если я правильно понял, какие именно теоремы Вы имели в виду). хорошо, поясните свой метод, пожалуйста.

[svv]

Рассматриваем шар $B_r$ с центром в нуле. Определим две функции радиуса шара $r$.
Интеграл по объему:
$P(r)=\int\limits_{B_r} u\;dV = \int\limits_{\bar r=0}^r \int\limits_{\theta}\int\limits_{\varphi} u(\bar r, \theta, \varphi)\; \bar r^2 \;\sin\theta\;d\bar r\;d\theta \;d\varphi$
Поверхностный интеграл по "полному телесному углу":
$Q(r)=\frac 1 {r^2} \int\limits_{\partial B_r} u\;dS = \int\limits_{\theta}\int\limits_{\varphi} u(r, \theta, \varphi)\;\sin\theta \;d\theta \;d\varphi$
(я не собираюсь работать со сферическими координатами, они нужны только для пояснения)

Дальше,
1) $\frac d {dr}P(r)=r^2 Q(r)$

2) $P(r)=\int\limits_{B_r} u\;dV = \int\limits_{B_r} \Delta u\;dV =\int\limits_{\partial B_r} \frac {\partial u}{\partial n}\; dS = \int\limits_{\theta}\int\limits_{\varphi} \frac{\partial u(r, \theta, \varphi)}{\partial r}\; r^2 \sin\theta \;d\theta \;d\varphi =$
$= r^2 \frac d {dr} Q(r)$

Отсюда получаем дифференциальное уравнение для $Q(r)$:
$\frac d {dr} \left(r^2 \frac d {dr} Q(r)\right) = r^2 Q(r)$
Два его независимых частных решения:
$Q_1(r)=\frac {e^r} r$ и $Q_2(r)=\frac {e^{-r}} r$

Так как $\lim \limits_{r\to 0} Q(r)=4\pi u(0)$, решение ДУ должно быть ограниченным в нуле. Это возможно, лишь если $Q_1$ и $Q_2$ входят в комбинации
$Q(r)=\frac A 2 (Q_1(r)-Q_2(r)) = A\frac {\sh r} r$,
но при $A\neq 0$ она экспоненциально растет на бесконечности. Это нехорошо, так как для $Q(r)$ справедлива оценка $|Q(r)|\leqslant 4\pi C$ и, следовательно, при ограниченном $u$ она также должна быть ограниченной.

Если же $A=0$, то и $P(r)=0$. Так как центр шара можно выбрать произвольным, $P(r)=0$ для любого шара. В этом случае $u=0$.

Возможны всякие вариации, например, $Q(r)$ можно определить просто как интеграл от $u$ по поверхности шара (мне показалось, что это менее удобно), но идея вот такая.

Интегральная теорема, как Вы поняли, была применена здесь:
$\int\limits_{B_r} \Delta u\;dV =\int\limits_{\partial B_r} \frac {\partial u}{\partial n}\; dS$

[sxdxfan]

спасибо большое, я заодно нашел прокол в своих рассуждениях.
так Вы под интегральной теоремой имели в виду просто теорему Стокса! ну да, я понял, к чему это было

[svv]

ОК.

P.S. Подправил там-сям.