объединение двух нигде не плотных множеств - нигде не плотно

[no_use_for_a_login]

Подскажите, пожалуйста, как доказать, что объединение двух нигде не плотных множеств нигде не плотно.
И ещё вопросик: почему дополнение до нигде не плотного множества всегда всюду плотно?

[Someone]

По определению.

Вообще по правилам Вы должны изложить свои попытки решения. Сформулируйте определения нигде не плотного множества, всюду плотного множества, и расскажите, что Вы пытались сделать.

[no_use_for_a_login]

Множество всюду плотно в X, если его замыкание совпадает с X. Есть ещё теорема о том что, если множество пересекается с любым непустым подмножеством пространства, то оно всюду плотно в нем. Множество нигде не плотно, если его внутренность пуста. Но, а доказать-то как?

[Someone]

no_use_for_a_login в сообщении #520810 писал(а):

если множество пересекается с любым непустым подмножеством пространства, то оно всюду плотно в нем

При таком условии оно не только всюду плотно, но и просто совпадает со всем пространством. Правильное условие другое.

А определения в таком виде мало полезны. Их нужно сформулировать, используя открытые множества.

[no_use_for_a_login]

Да, точно! Я имел ввиду, что если оно пересекается с любым ОТКРЫТЫМ непустым подмножеством, то оно всюду плотно. А как доказать этот факт? Что касается определений через открытые множества, то они действительно немного проясняют ситуацию