Задача на случайные величины

[Marucmp]

Собственно условие задачи: "Пусть независимые случайные величины $\xi$ и $\eta$ имеют одинаковое показательное распределение с параметром $\alpha$. Положим $U=min(\xi, \eta), V=I\{\xi < \eta\}$. Доказать, что $U$ и $V$ независимы" $I$ - индикатор.
Вопрос заключается в следующем: для доказательства независимости случайных величин нужно доказать выполнимость выражения $P(X_1 \in B_1,X_2 \in B_2)=P(X_1 \in B_1)*P(X_2 \in B_2)$ для любых борелевских множеств $B_1,B_2$. Но т.к. у нас непрерывные случайные величины то и минимум из них тоже - непрерывная сл. вел. А индикатор всегда дискр. сл. вел. Могут ли вообще непр. и дискр. случайные величины быть зависимыми и как формально можно доказать вышесказанное утверждение, если оно верно?

[Marucmp]

Отрыл формулу для нахождения функции распределения от функции двух случайных величин: получил, что $F_m_i_n_(_\xi_,_\eta_)(y)=(exp(-\alpha*x)-1)^2$ при $x>0$ и 0 иначе. Как можно вычислить ф.р. от индикатора?

[--mS--]

Во-первых, найдите определение независимости попроще. Вы взяли определение, которое требует проверки некого условия для максимально богатого класса множеств. Это определение хорошо лишь для доказательства зависимости - чем для большего набора множеств условие должно выполняться, тем проще найти те, для которых оно не выполнено. Для доказательства же независимости, чем для меньшего набора множеств придётся проверять условие, тем лучше. Определение независимости двух случайных величин с дискретными распределениями можете привести? А с произвольными - в терминах функций распределения? А скомбинировать из этих двух определений нужное для проверки независимости величин с абсолютно непрерывным и дискретным распределениями? На худой конец, использовать определение (критерий, точнее) независимости в терминах функций распределения.

Во-вторых, функция распределения, что Вы привели, это никак не функция распределения минимума двух независимых с.в. с показательным распределением. Это функция распределения их максимума, что совсем не одно и то же.

В третьих. Какое конкретно распределение имеет данный индикатор? Назовите значения и их вероятности.

[ewert]

Надо искать условные вероятности $P(\xi<\eta\big|\min(\xi,\eta)<t)$ и $P(\xi>\eta\big|\min(\xi,\eta)<t)$. Совместное распределение величин $\xi,\eta$ даже не важно, как выглядит -- важно, что оно симметрично относительно линии $\xi=\eta$, и условие $\min(\xi,\eta)<t$ также задаёт некоторую симметричную область на плоскости (даже неважно какую). Поэтому те две условных вероятности одинаковы, этого и достаточно.

[Marucmp]

Естественно, что отдельно для непрерывных и дискретных распределений критерий независимости записывается проще. А именно, для дискретных нужно проверить $\forall y_1,...,y_n P(X_1=y_1,...,X_n=y_n)=P(X_1=y_1)*...*P(X_n=y_n)$ аналогично для непрерывных $\forall y_1,...,y_n P(X_1<y_1,...,X_n<y_n)=P(X_1<y_1)*...*P(X_n<y_n)$. Но вот как объединить эти условия не прибегая к переходу на множества общей структуры я не знаю.
Спасибо за указание на ошибку. Там действительно ф.р. для максимума. Перерешал и получил $1-exp(-2\alpha*x)$ при $x>0$ и 0 иначе. На этот раз должно быть правильно.
Индикатор

$$ I_\xi_<_\eta=\begin{cases} 1,&\text{если $\xi<\eta$;}\\ 0,&\text{иначе.} \end{cases} $$

2ewert Можете поянсить почему этого достаточно для решения задачи? Т.е. существует определение независимости сл. величин в терминах условных вероятностей?

[--mS--]

Marucmp в сообщении #520851 писал(а):

аналогично для непрерывных $\forall y_1,...,y_n P(X_1<y_1,...,X_n<y_n)=P(X_1<y_1)*...*P(X_n<y_n)$. Но вот как объединить эти условия не прибегая к переходу на множества общей структуры я не знаю.

Это определение не для непрерывных, а для любых случайных величин. Вот им и воспользуйтесь.

Вы так и не написали, какое распределение имеет индикатор: функцию распределения индикатора как будете искать, пока нет вероятностей принимать указанные значения?

[ewert]

Marucmp в сообщении #520851 писал(а):

Т.е. существует определение независимости сл. величин в терминах условных вероятностей?

Независимость случайных величин -- это независимость любых пар событий, каждое из которых определяется только своей случайной величиной. Из симметричности совместного распределения следует, что безусловная вероятность каждого из двух значений того индикатора равна половинке. И надо лишь убедиться в том, что и условные вероятности этих значений тоже равны половинкам, т.е. просто что они совпадают. Ну это сразу же следует из того, что любое множество на плоскости, задаваемое какими-то ограничениями на значения любой функции $g(x,y)$, симметричной относительно перестановки $x$ и $y$, также симметрично относительно этой перестановки (и опять же из симметричности совместного распределения).

Тут, правда, есть нюанс: всё это верно лишь потому, что исходное распределение чисто непрерывно. В противном случае вероятность события $\{\xi=\eta\}$ оказалось бы, вообще говоря, ненулевой, и ситуация несколько усложнилась бы.

Но есть и нюансы в положительную сторону. Во-первых, нет необходимости в абсолютной непрерывности распределения -- достаточно просто непрерывности. Во-вторых, достаточно лишь симметричности совместного распределения (которое, конечно, гарантируется независимостью и одинаковой распределённостью двух исходных величин, но само по себе вовсе их не требует). Ну а конкретно показательный вид распределений тут и вовсе не при чём.

[--mS--]

Очень надеюсь, что Marucmp, а также тот, кому, собственно, и была адресована задача, прежде всего освоят регулярные методы теории вероятностей. А именно: научатся пользоваться определением независимости, научатся вычислять вероятности событий, связанных со случайными величинами, и научатся находить функции распределения дискретных распределений. Т.е. обретут необходимый минимум знаний и умений. А уж потом займутся отысканием обходных путей решения поставленных задач. Выражаю уверенность в том, что преподаватель на зачёте им в этом поможет

[ewert]

(Оффтоп)

--mS--:
Ну почему, ну почему Вы считаете, что каждый студент априори должен быть крайне туп? Настолько, что даже не способен воспользоваться элементарными соображениями симметрии? Опыт показывает, что это далеко не всегда так.

Более того: он просто обязан искать решение в первую очередь из соображений симметрии, и лишь если этого сходу не получается -- переходить к шаблону. Правда, для этого его надо учить думать, а не просто гонять формулки. Тем более в ТВ, где в очень многих задачках важно не столько знание формулок, сколько умение понять смысл задачки. И это -- вполне типичный пример.

[--mS--]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #521436 писал(а):

--mS--:
Ну почему, ну почему Вы считаете, что каждый студент априори должен быть крайне туп?

Ну вообще-то в этой ветке объяснять приходится не студенту. Не знаю, с чего Вы решили, что "туп", и, главное, почему "априори". Это Вы не читаете сообщений ТС, а сразу кидаетесь отвечать, безотносительно того, что перед Вами. А я как раз читаю, и вижу, что студент знает, а что нет. Уже тем более, извините, когда это почти что мой студент (поэтому в этой ветке можете спорить сколько заблагорассудится, а необходимые знания ему/им придётся заиметь).

Вы бы хоть взглянули, что Вы делаете: ТС не понимает, что независимость $I(\xi < \eta)$ и $\min(\xi,\eta)$ - это независимость событий $\{\xi<\eta\}$ и $\{\min(\xi,\eta)<t\}$ при всяком $t$. Попробовать бы подумать, почему он этого не понимает и каких знаний ему недостаёт. Нет, вместо этого Вы полагаете, что достаточно просто доказать независимость этих событий, да ещё и через условные вероятности, и настанет счастье. Ну ещё бы - Вы же любуетесь своим доказательством, какое дело до того, что до факта, который Вы смакуете, студент ещё не добрался! Не доказать это нужно, а добиться, чтобы человек понял, при чём тут эта независимость! А докажет он и без Вас, это я и так знаю. И симметрию, будет надо, увидит. Вместо этого всё с ног на голову, и как человек не понимал, при чём тут независимость исходных с.в., так и не понимает. Вместо этого Вы доказываете за него то, что он и сам сможет (и при этом не считаете его тупым, верно?), а то, что он не понимает, пусть не понимает и дальше.

И не трудитесь с обвинениями: чему я учу студентов, и что из этого получается, я знаю великолепно. Уж по крайней мере не упиваюсь, завесив уши, собственными методическими находками. А научить думать на пустом месте, без знаний, без опыта, не сумеете ни Вы, ни я, ни кто иной.

[ewert]

(Оффтоп)

--mS-- в сообщении #521501 писал(а):

Не знаю, с чего Вы решили, что "туп", и, главное, почему "априори".

Это легко. Цитирую:

--mS-- в сообщении #521298 писал(а):

прежде всего освоят регулярные методы теории вероятностей. А именно: научатся пользоваться определением независимости, научатся вычислять вероятности событий, связанных со случайными величинами, и научатся находить функции распределения дискретных распределений.

Что означают эти слова -- надеюсь, понятно? Они означают ровно то, что надо тупо считать, считать, считать до посинения даже то, что заведомо никакого счёта не требует. Т.е. первым делом формулки; ну а понимание -- это уже потом, потом когда-нить придёт. Авось придёт.

И это я ещё не отреагировал на параллельную ветку, где Вы ещё круче в том же духе выразились.

[--mS--]

(Оффтоп)

Я не смогу ничего объяснить человеку, который полагает возможным понимание на пустом месте. Вы сами-то описанными знаниями владеете? Не понимаю, в чём Вы видите смысл мешать людям их получать.

Кстати, задачу студентка давно решила, и даже независимость $\min(\xi,\eta)$ и $\xi-\eta$ доказала, так что способы "на коленке" не понадобились.