Сходимость интеграла с параметром

[mirh]

Подскажите, как исследовать на равномерную сходимость
$\int_{0}^{\infty}x^\alpha e^{-x} dx$, где $\alpha \in (0, \infty)$

[srm]

mirh, думаю, по частям проинтегрировать и свести к интегралу $\int_0^\infty e^{-x} dx$. В итоге получится конечное число слагаемых (при конечном $\alpha$).

[SpBTimes]

Зачем?
В нуле эквивалентная функция $x^a$ и сходимость будет тогда, когда $a > -1$
В бесконечности рассмотрите $\frac{1}{x^t}$, где $t > 1$ и отношение

[Padawan]

Равномерной сходимости при $\alpha\in (0,+\infty)$ не будет. Равномерная сходимость имеет место на любом отрезке $[0,A]$, где $A>0$.

[ewert]

Что касается любого промежутка $a\in[0;A]$, то тут расномерная сзодимость очевидна -- при этом $x^a$ оценивается сверху через функцию, равную единице левее единицы и $x^A$ правее единицы, а интеграл от такой функции сходится.

Чуть деликатнее неравномерность на бесконечности. Но тут достаточно заметить, что исходный интеграл растёт с ростом $a$ как факториал, в то время как он же, но по любому фиксированному промежутку -- лишь как некоторая степень с показателем $a$, т.е. гораздо медленнее. Какой уж тут критерий Коши.

[mirh]

т.е. тут можно доказать неравномерную сходимость, используя отрицание критерия Коши, тогда мне не совсем понятно почему

исходный интеграл растёт с ростом $a$ как факториал, в то время как он же, но по любому фиксированному промежутку -- лишь как некоторая степень с показателем $a$, т.е. гораздо медленнее.

[mirh]

а, это интеграл $\int_{0}^{\infty}x^\alpha e^{-x} dx=\alpha !$, поэтому
$\exists \varepsilon_0 :\forall \delta>0 $ $\exists \alpha_\delta:\int_{0}^{\infty}x^{\alpha_\delta} e^{-x} dx=\alpha_\delta!>\varepsilon_0 $, так?

[Padawan]

ewert в сообщении #520733 писал(а):

Чуть деликатнее неравномерность на бесконечности. Но тут достаточно заметить, что исходный интеграл растёт с ростом $a$ как факториал, в то время как он же, но по любому фиксированному промежутку -- лишь как некоторая степень с показателем $a$, т.е. гораздо медленнее. Какой уж тут критерий Коши.

Всё-таки, непосредcтвенно по критерию Коши проще. $\int_\xi^\eta x^\alpha e^{-x} dx\geqslant e^{-\eta}\xi^\alpha (\eta-\xi)$ при любых фиксированных $\xi$ и $\eta$, $1<\xi<\eta$ неограничена при $a\in (0,+\infty)$.