Обыкновенный дифур

[alex-omsk]

Здравствуйте. Вот така задача на меня внезапно свалилась на зачете по ур. мат. физики. Точнее её часть, но тут не суть важно. Вообщем нужно решить следующее уравнение:

$$(1 - x^2)dy+\left(xy+\sqrt{1-x^2+y^2}\right)dx = 0$$

Так как я знаю ответ, то единственное, что я могу сделать - это из ответа получить интегрирующий множитель. Но он ужасен, да и вообще не метод так решать. Какую сделать замену тут надо меня, к сожалению, не осеняет.

[alex-omsk]

Насколько я понимаю, уравнение не разрешимо относительно икса и игрека. Соответсвенно ввести параметр не получается, или всё же как-то можно?

[srm]

Напрашивается заменаalex-omsk, нужно подобрать замену. Я думаю, что-то типа $a = y^2-x^2$, $b = x y$.

[alex-omsk]

Замена это хорошо, только вот должно осенить какая. $a = y^2-x^2$, $b = x y$ по-моему не подходит, ну во всяком случае там $y$ и $x$ выражаются ужасно.
Я попробовал ввести параметр:
$\frac{dy}{dx} = p$ и вроде получается неплохое квадратное уравнение $y^2 - 2xpy+((x^2-1)+1)=0$, но если его решать то фигня какая-то получается.

[Daemvil]

Может, попробовать x=sin(), y=cos()?

[alex-omsk]

Daemvil в сообщении #520857 писал(а):

Может, попробовать x=sin(), y=cos()?

Может быть, но не поянтно чего, и непонятно как наше выражение упростится.

-- Ср дек 28, 2011 11:41:07 --

Да, в уравнениии $x^2-y^2<1$
Я вот не могу понять, в чем ошибка:

$$(1-x^2)dy+(xy+\sqrt{1-x^2+y^2})dx=0$$

$$p=\frac{dy}{dx}$$

$$(1-x^2)p+(xy+\sqrt{1-x^2+y^2})=0$$

$$\sqrt{1-x^2+y^2}=(x^2-1)p-xy$$

$$1-x^2+y^2=(x^2-1)^2p^2-2xyp(x^2-1)+x^2y^2$$

$$y^2-2xpy+((x^2-1)p^2+1)=0$$

$$y_{1,2}=xp\pm\sqrt{p^2-1}=f(x,p)$$

$$dy=pdx \Rightarrow \frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial p}dp=pdx$$

или что то же самое $\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial p}\frac{dp}{dx}=p$

$$p+\left(x+\frac{p}{\sqrt{p^2-1}}\right)\frac{dp}{dx}=p \Rightarrow p=C \Rightarrow y=pC+\sqrt{C^2-1}$$

-- Ср дек 28, 2011 12:00:12 --

Вообщем по-моему это и правильно, просто ответ очень не похож, но если его привести то получается то же самое