Найти сумму ряда

[Ubu]

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{5^n}$

Пытаюсь методом суммирования Абеля, но не получается разложить на хорошие дроби.

[ИСН]

Умножьте на $(1-{1\over5})$

[Ubu]

Получилось соотношение между $N$-ой и $N+1$-ой част. суммами. Далее перехожу к пределу. Должно получится.

-- Пн дек 26, 2011 22:47:58 --

ИСН

У меня так получилось:

$S_{N} = \sum_{n=1}^{N} \frac{n}{a^{n}}$

$\lim_{N \rightarrow \infty} S_{N} = A$

$S_{N} (1-\frac{1}{5}) = S_{N} - S_{N+1} - \frac{N+2}{a^{N+2}}+ \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{a^{n+1}} $

перехожу к пределу ($N \rightarrow \infty$)

$-\frac{1}{a} A= -A + \frac{1}{a-1}$

$A = \frac{a}{(a-1)^{2}}$

Ответ - $\frac{5}{16}$

-- Пн дек 26, 2011 22:51:23 --

Спасибо!