Помогите найти сумму ряда.

[demon semen]

Здравствуйте, уважаемые форумчане!

У нас веселый вуз, семестр учим одно, на зачете сдаем другое. Задали вот такие два примера:
Пример первый:
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5n+3}{n(n+1)(n+2)} $
Использовал метод неопределенных коэффициентов:
$\frac{5n+3}{n(n+1)(n+2)}=\frac{A}n + \frac{B}{n+1} +\frac{C}{n+2} $
Пытался вычислить частичную сумму ряда, результата положительного не достиг.

Пример второй:
$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n-3)(2n-2)} $
Здесь вообще не представляю, как решать.

Подскажите, пожалуйста!

[Sonic86]

(Оффтоп)

demon semen в сообщении #519791 писал(а):

У нас веселый вуз, семестр учим одно, на зачете сдаем другое.

Поздравляю, Вы не одиноки, привыкайте

demon semen в сообщении #519791 писал(а):

Использовал метод неопределенных коэффициентов:
$\frac{5n+3}{n(n+1)(n+2)}=\frac{A}n + \frac{B}{n+1} +\frac{C}{n+2} $

А конкретные значения $A,B,C$ знаете? Найдите конкретные значения и выпишите несколько конкретных частичных сумм ($S_2,S_3,S_4$) - посмотрите, авось там что-то и сократится.

demon semen в сообщении #519791 писал(а):

Пример второй:
$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n-3)(2n-2)} $
Здесь вообще не представляю, как решать.

Здесь воспользуйтесь дифференцированием или интегрированием и возможностью вносить или выносить $x^2$.

[Someone]

demon semen в сообщении #519791 писал(а):

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5n+3}{n(n+1)(n+2)} $
Использовал метод неопределенных коэффициентов:
$\frac{5n+3}{n(n+1)(n+2)}=\frac{A}n + \frac{B}{n+1} +\frac{C}{n+2} $
Пытался вычислить частичную сумму ряда, результата положительного не достиг.

Чтобы разобраться, что происходит с $n$-ной частичной суммой, напишите побольше членов в начале (9 - 12) и в конце (6 - 9). Внимательный анализ поможет понять, что сокращается, что остаётся.

demon semen в сообщении #519791 писал(а):

$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n-3)(2n-2)} $
Здесь вообще не представляю, как решать.

Обозначим сумму ряда $S(x)$, и пусть $f(x)=\frac{S(x)}{x^2}$. Вычислите $f''(x)$, потом вернитесь к $S(x)$.