Проверьте доказательство (компакт, граничные точки)

[ThisIzGame]

Здравствуйте, дали задание, доказать, что все точки компакта в бесконечно- мерном банаховом пространстве являются граничными.
Вот мое (в некотором смысле абстрактное доказательство) насчет которого я не уверен.
Доказательство (от противного): Пусть множество A - это наш компакт (то есть это некоторый шар Y(некоторого радиуса) ), и допустим что существует точка x из A, не являющейся граничной, (получается в любой ее окрестности находятся только точки из множества A), тогда возьмем окрестность бесконечность (шар Z бесконечного радиуса с центром в точке x), тогда получается шар Z полностью содержится в шаре Y, противоречие. Все точки граничные.

[Alpeev]

Вы бы определения почитали. У не граничной(=внутренней) точки множества существует окрестность, целиком лежащая в этом множестве. Так что, вам нужно подумать, почему шар не может быть предкомпактным.

[ThisIzGame]

Alpeev в сообщении #519566 писал(а):

Вы бы определения почитали. У не граничной(=внутренней) точки множества существует окрестность, целиком лежащая в этом множестве. Так что, вам нужно подумать, почему шар не может быть предкомпактным.

Да согласен, поторопился. Я правильно понимаю, что мне надо думать в сторону того, что если предположить что некоторая точка x -внутренняя, то достаточно будет доказать, что замыкание не компактно, тогда получим противоречие с исходными условиями. Только вот пока никаких толковых идей по этому поводу нет...

[ewert]

ThisIzGame в сообщении #519588 писал(а):

Только вот пока никаких толковых идей по этому поводу нет...

А и неудивительно, это достаточно нетривиальный факт, тут совсем уж элементарными рассуждениями не отделаешься.

Следует это, например, из теоремы Рисса о "квазипроекции": в любом банаховом пространстве для любого подпространства по любому $\varepsilon>0$ найдётся единичный вектор, расстояние от которого до всех элементов этого подпространства не меньше, чем $1-\varepsilon$. Теорема сама по себе нетрудная, но и не сказать чтоб очевидная.

Эта теорема позволяет построить последовательность элементов единичного шара, каждые два из которых отделены друг от друга одним и тем же фиксированным расстоянием (или бОльшим). Естественно, что такая последовательность предкомпактной не будет.

[ThisIzGame]

ewert в сообщении #519608 писал(а):

ThisIzGame в сообщении #519588 писал(а):

Только вот пока никаких толковых идей по этому поводу нет...

А и неудивительно, это достаточно нетривиальный факт, тут совсем уж элементарными рассуждениями не отделаешься.

Следует это, например, из теоремы Рисса о "квазипроекции": в любом банаховом пространстве для любого подпространства по любому $\varepsilon>0$ найдётся единичный вектор, расстояние от которого до всех элементов этого подпространства не меньше, чем $1-\varepsilon$. Теорема сама по себе нетрудная, но и не сказать чтоб очевидная.

Эта теорема позволяет построить последовательность элементов единичного шара, каждые два из которых отделены друг от друга одним и тем же фиксированным расстоянием (или бОльшим). Естественно, что такая последовательность предкомпактной не будет.

ewert - спасибо, это я так понимаю мы опровергли равностепенную непрерывность нашего множества, а следовательно т.к. оно не является предкомпактным, оно не компактно. И еще бы хотел спросить вас, где можно поподробнее почитать про данную теорему (учебник, сайт), а то поиск не дал каких-то результатов.

Цитата:

Эта теорема позволяет построить последовательность элементов единичного шара, каждые два из которых отделены друг от друга одним и тем же фиксированным расстоянием (или бОльшим). Естественно, что такая последовательность предкомпактной не будет.

Хотя, тут не очень понял, как это даст ответ на мою задачу?

[ewert]

ThisIzGame в сообщении #519632 писал(а):

Хотя, тут не очень понял, как это даст ответ на мою задачу?

Это доказывает непредкомпактность единичного шара (а Ваша задача практически этому и эквивалентна). Поскольку ни сама эта последовательность, ни какая-либо её подпоследовательность фундаментальными не являются -- и, значит, из этой последовательности нельзя выделить сходящейся подпоследовательности.

ThisIzGame в сообщении #519632 писал(а):

где можно поподробнее почитать про данную теорему

Например: Люстерник, Соболев. Но можно и тут -- это достаточно коротко.

Берём для начала любой элемент $y_0$, не принадлежащий подпространству $L$ и, следовательно, отстоящий от него на некоторое расстояние $d>0$ (т.е. $d$ -- это инфимум расстояний от $y_0$ до всех элементов $L$). Теперь берём элемент $x_0\in L$ такой, что $\|y_0-x_0\|<d+d\varepsilon$ (это возможно, т.к. $d$ -- это именно инфимум и, следовательно, к нему можно подобраться сверху сколь угодно близко). Пусть $y=\dfrac{y_0-x_0}{\|y_0-x_0\|}$. Тогда $\|y\|=1$, и при этом для любого $x\in L$ будет

$\|y-x\|=\left\|\dfrac{y_0-x_0}{\|y_0-x_0\|}-x\right\|=\dfrac{\big\|y_0-(x_0+x\|y_0-x_0\|)\big\|}{\|y_0-x_0\|}>\dfrac{d}{d+d\varepsilon}>1-\varepsilon$

(оценка снизу для числителя верна потому, что выражение в круглых скобках -- это тоже некоторый элемент $L$).

[ThisIzGame]

ewert
еще раз спасибо, но (извиняюсь за возможно глупый вопрос) я просто никак не могу понять, почему из доказанной непредкомпактности следует то, что исходное множество состоит только из граничных точек.

[ewert]

ThisIzGame в сообщении #519744 писал(а):

почему из доказанной непредкомпактности следует то, что исходное множество состоит только из граничных точек.

Потому, что если б оно состояло не только из граничных точек -- то оно обязано было бы включать в себя и некоторые внутренние, т.е.некоторые шары, что категорически (в случае предкомпактности) запрещено.

(ну это, конечно, с точностью до термнологии: считать ли граничными изолированные точки множетва. Но это уже некоторая ловля блох)

[MaximVD]

ewert в сообщении #519608 писал(а):

Следует это, например, из теоремы Рисса о "квазипроекции": в любом банаховом пространстве для любого подпространства по любому $\varepsilon > 0$ найдётся единичный вектор, расстояние от которого до всех элементов этого подпространства не меньше, чем $1 - \varepsilon$. Теорема сама по себе нетрудная, но и не сказать чтоб очевидная.

Всё-таки не для любого подпространства, а только для замкнутого. Например, для подпространства всех многочленов в $C[0,1]$ вы такого вектора не найдёте. Поэтому в доказательстве того, что шар не является компактным множеством неявно используется тот факт, что любое конечномерное подпространство нормированного пространства замкнуто.

[ewert]

MaximVD в сообщении #520142 писал(а):

Всё-таки не для любого подпространства, а только для замкнутого.

Подпространство по определению считается замкнутым, иначе говорят о линейном подмножестве. Впрочем, для этой задачки это действительно не имеет значения.

[MaximVD]

ewert
Простите за замечание! Просто мы пользуемся разными определениями.

(Оффтоп)

Просмотрел с десяток книг по функциональному анализу и только в книге Колмогорова и Фомина подпространство по определению считается замкнутым, а вот в остальных книгах (Данфорд и Шварц "Линейные операторы", Рудин "Функциональный анализ", Эдвардс "Функциональный анализ", Дэй "Нормированные линейные пространства", Саймон и Рид "Методы современной математической физики", Фёдоров "Теория функций и функциональный анализ", Кутателадзе "Основы функционального анализа", Conway "A Course in Functional Analysis", Хелемский "Лекции по функциональному анализу", Канторович и Акилов "Функциональный анализ", Иосида "Функциональный анализ") замкнутость в определение подпространства не включается и всегда оговаривается отдельно. Поэтому чаще принято оговаривать замкнутость, хотя это дело вкуса.