Коэффициент корреляции

[Glooshak]

Всем доброго времени суток! Необходимо решить задачу следующего содержания:

Точку бросают в круг единичного радиуса. Найти коэффициент корреляции между ее декартовыми координатами.

Что пришло хорошего в голову, так это то, что

$$r(x,y) = \frac{M(xy)-M(x)M(y)}{\sqrt{D(x)}\sqrt{D(y)}}$$

Но как связать эту формулу с декартовыми координатами не могу понять. Направьте на путь истинный.

[ИСН]

ну как. вот среднее значение x, оно чему равно?

[Glooshak]

Среднее значение для x:

$$ 0$ $

[ИСН]

Ну вот видите, как здорово. А среднее значение y можете так же найти? А xy?

[Glooshak]

то есть:

$$M(x) = M(y) = M(xy) = 0$$

я правильно понял?

[--mS--]

Да. Хорошо, если Вы это ещё и доказать умеете.

А теперь смотрим на условие задачи, и видим, что круг-то не обязательно с центром в нуле. Какие свойства коэффициента корреляции Вы знаете, чтобы можно было перейти к кругу с центром в нуле?

[Glooshak]

У меня вопрос, касательный того как найти мат ожидание для данных случайных величин. Есть формула:

$ $M(x) = \int\int xf(x,y)dxdy$$

Аналогично и для y и xy , но какая тут плотность распределения (есть предположение, что это равномерное распределение)? И насчет пределов интегрирования, на мой взгляд они от -1 до 1, это правильно?

[--mS--]

Конечно, равномерное - раз "точку бросают в круг". Пределы в двойном интеграле не могут быть от $-1$ до $1$, там две переменные. При каких значениях $(x,y)$ плотность $f(x,y)$ отлична от нуля?

[ewert]

Плохая задачка. Корреляция нулевая просто потому, что инвариантна относительно поворотов.

[Glooshak]

--mS-- в сообщении #519945 писал(а):

При каких значениях $(x,y)$ плотность $f(x,y)$ отлична от нуля?

$$f(x,y)$$

отлична от нуля, при

$$-1<x\leq1$$

$$-1<y\leq1$$

если считать, что центр окружности в нуле.

[--mS--]

Нарисуйте область, описанную данными неравенствами, и сравните её с кругом. Похоже?

[Glooshak]

Нет получается прямоугольник - нужен круг. Если воспользоваться параметрическим уравнением окружности то получим, что:

$$-\cos(\varphi) <x\leq\cos(\varphi)$$

$$-\sin(\varphi) <y\leq\sin(\varphi)$$

$\varphi$ от 0 до 2pi

[--mS--]

При чём тут какое-то фи, когда интегрирование идёт по области на плоскости переменных $(x,y)$? Почему бы Вам не сказать, что кратный интеграл берётся по кругу? Или Вы хотите перейти к повторным интегралам? В таком случае выражайте границы изменения игрека в зависимости от того, какой икс.

Кратные интегралы в анализе были? Только не говорите, что нет