Очевидно, что при b=0 интеграл сходится при а>1
Ну, положим, при
![$b=0$ $b=0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/3/e/23e4100189d0f69f67a8aad4b053e22f82.png)
подынтегральное выражение не шибко-то и смысл имеет. Как минимум надо делать какие-то оговорки.
А если
![$b\neq0$ $b\neq0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/4/9/d49f74bfd6f158b2df85243f6dfb9dab82.png)
, то просто перепишите интеграл в виде ряда, составленного из интегралов по полупериодам синуса, а потом оцените этот ряд сверху и снизу, заменяя, соответственно,
![$x^a$ $x^a$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/f/2/bf2d19cfaedefc56a5dcb1d682141f4082.png)
на его значения на концах полупериода. Причём случай
![$b<0$ $b<0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/8/8/1880fe0ecaa115a4450051a030db2a5d82.png)
существенно проще -- там оценки получаются совсем тупые. А вот для
![$b>0$ $b>0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/2/2/a22dca7a3838034445d5ed9038d9963182.png)
чуток деликатнее. Там придётся оценивать интегралы типа
![$\int\limits_0^{\pi}\frac{dx}{\sin^bx+n^{-a}}$ $\int\limits_0^{\pi}\frac{dx}{\sin^bx+n^{-a}}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/b/9/8b9ee818aa112e0d81498ea97a693b2882.png)
. И если при
![$b<1$ $b<1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/7/5/a752aa13179d37ffb59131253686fbd582.png)
всё опять же просто -- с ростом
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
эти интегралы стабилизируются -- то при
![$b\geqslant1$ $b\geqslant1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/a/3/ba371b0ad3d3abbbff89d28e7856de6382.png)
эти интегралы асимптотически расходятся, и придётся ловить скорость их расходимости. Но и это нетрудно: эти интегралы, в свою очередь, двусторонне оцениваются через интегралы типа
![$\int\limits_0^{\pi/2}\frac{dx}{x^b+n^{-a}}$ $\int\limits_0^{\pi/2}\frac{dx}{x^b+n^{-a}}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/f/9/ff95afa9267fa5968cf12eb8375ff32f82.png)
. При
![$b=1$ $b=1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/a/3/0a32b847a4fb2df52c7e3b07702b8cea82.png)
получается логарифмическая расходимость, а при
![$b>1$ $b>1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/e/d/6ed48cd1bae4d36a8e1f472af015021b82.png)
можно заменить верхний предел на плюс бесконечность, после чего там тоже всё ясно.