Болгарская Математическая Олимпиада, 1968, III тур

[Ktina]

(Преамбула)

Переводя на русский язык условия олимпиадных задач различных стран и различной давности, желаю оказать неоценимую услугу тем, кто не любит читать по-английски. В Сети вы такого больше нигде не найдёте, это - уникальный проект. Есть, конечно, http://www.zaba.ru , но задач там маловато, маловато стран и разброс лет узок - в основном 90-е годы. Кроме того, "заба" уже лет, эдак, 10 не пополняется.
Итак, сказал Гагарин, нажав на педаль газа ракеты, поехали!

Болгарская Математическая Олимпиада, 1968, III тур

День первый.

1. Найти все четырёхзначные числа вида $\overline{1xyz}$, если известно, что по крайней мере два из чисел $\overline{xz}$, $\overline{yx}+1$, $\overline{zy}-2$ делятся на 7, а также выполняется $x+2y+z=29$.
(6 баллов)

2. Найти такие числа A, B, C, чтобы для каждого натурального n выполнялось
$\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\dots +\frac{n}{2^n}=\frac{An+B}{2^n}+C$
(7 баллов)

3. Решить неравенство:
$(1-\cos{x})(1+\cos{2x})(1-\cos{3x})<\frac{1}{2}$
(7 баллов)

День второй.

4. Точки A, B, C и D являются последовательными вершинами правильного многоугольника и удовлетворяют следующему условию:
$\frac{1}{AB}=\frac{1}{AC}+\frac{1}{AD}$
Сколько сторон у этого многоугольника?
(6 баллов)

5. В треугольнике ABC на медиане CM выбрана точка O. Прямые AO и BO пересекают стороны BC и AC в точках K и L соответственно. Доказать, что если $AC>BC$, то $AK>BL$.
(6 баллов)

6. Основание ABCD пирамиды SABCD является четырёхугольником, диагонали которого взаимно перпендикулярны. Ортогональная проекция вершины S на основание пирамиды совпадает с точкой пересечения диагоналей AC и BD. Доказать, что ортогональные проекции точки O на боковые грани пирамиды лежат на одной окружности.
(8 баллов)

[Dave]

День первый.

1. 1968.
2. $A=-1, B=-2, C=2$.
3. $48 \left\{ \frac x {4 \pi} \right\} \in [0,3) \cup (4,9) \cup (15,20) \cup (21,27) \cup (28,33) \cup (39,44) \cup (45,48) $.

[ins-]

The problems you posted were translated by me and I'm sorry if there are some mistakes -
my English is not very good. In the pdf file it was not written - a friend of mine - Ercole Suppa made the file I just sent
him the problems in English.

http://www.artofproblemsolving.com/Forum/resources.php
You can find also many interesting resources on this site. Thanks to a friend of mine Iranian and Turkish
problems were translated.

I also like very much http://www.mccme.ru/ there as well as many Russian sites with bigger problem collections than zaba.ru.

If you are interested in latest years Bulgarian MO problems - you can find useful the following site http://math-bg.com

Merry Christmas and all the best to all the members of dxdy.ru

[mihiv]

4.Семиугольник