сходимость интеграла

[ewert]

Хорхе в сообщении #518860 писал(а):

Да все правильно Inverse12 написал. Эквивалентность имеет место, интеграл от $ \frac{\arctg(a)}{\sqrt{1-x^2}}$ сходится, поэтому (в единице) сходится и исходный интеграл.

Это смотря что называть эквивалентностью. Обычно под этим понимают стремление конкретно к единице. Но даже если понимать её в расширенном смысле, как стремление к хоть какой-то константе -- всё равно в том месте $\arctg(a)$ выглядит откровенно как не пришей кобыле хвост.

[Хорхе]

Конкретно к единице стремление и есть:

$$ \lim_{x\to 1-}\frac{\arctg ax /(x\sqrt{1-x^2})}{\arctg a/\sqrt{1-x^2}}=1. $$

А "не пришей хвост" можно отшить как раз "в расширенном смысле".

Впрочем, я не ради того писал, чтобы Вас опровергнуть, а ради того, чтобы Inverse12 приободрить: все же он написал абсолютно правильно.

[Inverse12]

значит если я скажу, что мой интеграл

$$\int _{c}^{1} \frac{\arctg(ax)}{x \sqrt{1-x^2}} dx$$

можно разбить на

$$\int _{c}^{1-\varepsilon} \frac{\arctg(ax)}{x \sqrt{1-x^2}} dx + \int _{1-\varepsilon}^{1} \frac{\arctg(ax)}{x \sqrt{1-x^2}} dx$$

первый собственный и сходится, а во втором, подынтегральная функция на области интегрирования эквивалентна $ \frac{\arctg(a)}{\sqrt{1-x^2}}$ и поэтому я буду интегрировать её.
$\int _{1-\varepsilon}^{1} \frac{\arctg(a)}{\sqrt{1-x^2}} dx$ сходится, значит и $\int _{c}^{1} \frac{\arctg(ax)}{x \sqrt{1-x^2}} dx$ сходится. будет правильно?

[ewert]

Виноват, это я концы перепутал. Потому что читал по диагонали. Потому что читать внимательно было совершенно невозможно -- в глазах рябит от, может, и правильных, но совершенно никому не нужных эпсилонов.

Надо было просто разбить интеграл на два: по $[0;\frac12]$ и по $[\frac12;1]$. На первом отрезке функция доопределяется в нуле по непрерывности некоторой константой и, следовательно, интеграл (рассматриваемый как несобственный) автоматически сходится к обычному интегралу от доопределённой функции. На втором подынтегральная функция грубо оценивается сверху через $\dfrac{\mathrm{const}}{\sqrt{1-x^2}}$ (достаточно взять $\mathrm{const}=\pi$, а можно и ничего конкретного не брать -- и так очевидно, что какая-то такая константа существует); а ещё лучше -- через $\dfrac{\mathrm{const}}{\sqrt{1-x}}$, уж от этой-то функции интеграл тривиально сходится.

[bot]

ewert в сообщении #518881 писал(а):

а ещё лучше

А чем лучше? Был интеграл табличный, а стал почти табличным. У некоторых даже такие эпсилон-шевеления вызывают непреодолимые трудности.

[zhoraster]

Oleg Zubelevich в сообщении #518856 писал(а):

крикливые студенты не знают, что функция $1/x$ не интегрируема на $[-a,a]$

Oleg Zubelevich, второе и последнее устное предупреждение. Будьте сдержанней. Я хорошо понимаю, что некоторые невежественные и неуместные сообщения могут раздражать. Если Вы считаете, что сообщение нарушает правила форума -- внизу сообщения есть кнопка с восклицательным знаком. Если не можете сдерживаться -- есть возможность добавить любого члена форума во враги, тогда Вы не будете видеть его сообщений.

[ewert]

bot в сообщении #518883 писал(а):

А чем лучше? Был интеграл табличный, а стал почти табличным.

Дело вовсе не в табличностях, а в шаблонах. Исследования интегралов на сходимость следует сводить именно к шаблонам. И их, в принципе, два. Во-первых, это признаки сравнения (первый или второй). Во-вторых -- эталоны для сравнения, коими служат степенные функции в окрестностях особых точек. И тут такая функция совершенно явственно выплывает. А то, что там ещё выплывает нечаянно ещё и какой-то нищастный арксинус -- так это сугубая случайность, сугубо неспортивная и заведомо никому не должная быть интересной.