Комплексное тождество

[JMH]

Доказать, что из $(1+|v|^2)u=(1+|u|^2)v; u,v\in\mathbb{C}$ следует, что либо $u=v$, либо $\overline{u}v=1$.

Первое "либо" очевидно, второе, с виду, должно просто доказываться "в лоб", но... я его уж мусолил и так и эдак - не получается. Например:
$(1+|v|^2)u=(1+|u|^2)v\implies \overline{u}v=\frac{|u|^2(1+|v|^2)}{1+|u|^2}$ и... ничего. Ниоткуда не видно, что последняя дробь равна единице. Попытки рассмотреть тождество покомпонентно тоже ничего интересного не дали.
Заранее признателен за любые идеи.

[Sonic86]

А если взять модуль и аргумент от обеих частей?

[Cash]

$(1+|v|^2)u-(1+|u|^2)v = u-v + v\overline{v}u-u\overline{u}v = (u-v)(\cdots)$

-- Пт дек 23, 2011 11:10:51 --

Все равно сводится к тому, что Sonic86 сказал

[ewert]

Из $(1+|u|^2)|v|=(1+|v|^2)|u|\ \Leftrightarrow\ \frac1{|u|}+|u|=\frac1{|v|}+|v|$. Функция $t+\frac1t$ любое своё значение принимает в двух точках, произведение которых равно единице. Поэтому возможны лишь два (пересекающихся) случая: или $|u|=|v|$ (и тогда по исходному равенству просто $u=v$), или $|u|=\frac1{|v|}$, т.е. $u=r\,e^{i\varphi}$ и $u=\frac1r\,e^{i\psi}$. После подстановки этого в исходное равенство все $r$ сократятся и останется $e^{i\varphi}=e^{i\psi}$.