И сумма квадратов бывает квадратом от жизни квадратной такой

[Ktina]

Для всякого ли натурального n найдутся n попарно различных натуральных чисел, сумма квадратов которых - также квадрат натурального числа?

[Руст]

Для $n=1$ - очевидно, 2- Пифагор, 3-$3^2+4^2+12^2=13^2$. $n\ge 4$ - любое число представляется в виде суммы квадратов.
Берем произвольные $n-1$ квадратов, суммируем. Если сумма делится на 4, то $S=4x=(x+1)^2-(x-1)^2$. Если сумма нечетное $S=2x+1=(x+1)^2-x^2$. Переносим один из квадратов в сторону S. Остается следит только над тем, чтобы среди произвольных $n-1$ квадратов не было квадратов нечетных чисел в количестве $2\mod 4$.

[Dave]

Я решал так. Для $n=1$ - очевидно. Для $n=2$ берём $a=3, \; b=4, \; c=5, \; a^2+b^2=c^2$, хотя можно взять и $a=5, \; b=12, \; c=13$, главное, чтобы $a$ было взамно простым с $b$ и $c$.
Далее, если $x_1, x_2, \ldots, x_n, y$ - набор для $n \geqslant 2$, такой, что $\sum\limits_{i=1}^n {x_i^2} = y^2$ и $\forall \; i \neq j, i \leqslant n, j \leqslant n \to (x_i \neq x_j)$ то для $n+1$ берём следующий набор: $x_i'=ax_i, \; i=1, \ldots, n; \; x_{n+1}'=by, \; y'=cy$. Нетрудно видеть, что $\sum\limits_{i=1}^{n+1} {{x_i'}^2} = a^2 \sum\limits_{i=1}^{n} {x_i^2} + b^2y^2 = a^2y^2+b^2y^2 = c^2y^2 = {y'}^2$, причём $\forall \; i \neq j, i \leqslant n, j \leqslant n \to (x_i' \neq x_j')$, a, поскольку все числа $x_i', \; i=1,2,\ldots,n$ делятся на $a$, а $x_{n+1}'=by=bc^{n-2}$ на $a$ не делится, то все $x_i', \; i=1,2,\ldots,n+1$ различны.

[Ktina]

Можно иначе решить, если вспомнить, что $1^2+4^2+8^2=9^2$.
Тогда $1^2+4^2+8^2+36^2+72^2=81^2$ и так далее. Это для всех нечётных.
А для чётных можно взять первую пифагорову тройку и забабахать её в ту же последовательность:

$3^2+4^2=5^2$
$3^2+4^2+20^2+40^2=45^2$

и так далее.