Сумма двух случайн. величин имеет биномиальное распределение

[aux]

Доброго времени суток, уважаемые форумчане!
До последнего пытался разобраться самостоятельно, но нуждаюсь в дополнительной помощи.
Задача.Сумма двух независимых целочисленных неотрицательных случайных величин имеет биномиальное распределение. Доказать, что каждое слагаемое имеет биномиальное распределение.

Свои мысли:пусть $\xi=\xi_{1}+\xi_{2}$, где $\xi_{1}$ и $\xi_{2}$ удовлетворяют условиям задачи, а $\xi$ имеет биномиальное распределение с параметрами $n$ и $p$. И, если скажем $\xi_{1}$ принимает значения $0,1,\ldots,k$, тогда $\xi_{2}$ принимает значения $0,1,\ldots,n-k$.Положим $p_{i}=P(\xi_{1}=i),q_{j}=P(\xi_{2}=j)$. И тут можно рассмотреть сумму
$\sum^{i}_{j=0}p_{j}q_{i-j}=C^{i}_{n}p^{i}(1-p)^{n-i}, \;\;\; i=0,1,\ldots,n$. А дальше, по идеи, нужно доказать, что данная система имеет единственное решение. Но вот как это сделать я не знаю. Как не знаю и насколько правильны мои рассуждения.

[Хорхе]

Давайте я Вам сначала задам вопрос вроде как не по делу, а потом мы выясним, какое отношение к задаче он имеет.

Собственно, вопрос:
Есть многочлен $P(x) = (px+q)^n$. Как его можно разложить на множители (многочлены)?

[aux]

Цитата:

Есть многочлен . Как его можно разложить на множители (многочлены)?

Вероятно, по биному.

[Nemiroff]

Бином раскладывает в сумму, а вам нужно на множители.

[Хорхе]

Ладно, я ушел спать. Вы до утра подумайте, как его разложить (не пытайтесь усложнять, вопрос очень простой), и какое отношение это имеет к задаче (вот тут как раз бином пригодится).

[aux]

Цитата:

Есть многочлен . Как его можно разложить на множители (многочлены)?

Ну для этого нужно корни знать.

[Nemiroff]

Мне кажется, у многочлена, предложенного Хорхе, корни известны.

[aux]

что-то не приходят разумные мысли на этот счет...

[Nemiroff]

Ну если $p$ и $q$ параметры, какие корни у того многочлена?

[aux]

Цитата:

Ну если $p$ и $q$ параметры, какие корни у того многочлена?

$-\frac{q}{p}$ кратности $n$

[Nemiroff]

Ну вот подумайте теперь над предложением Хорхе. Можете еще про характеристические функции почитать.

[aux]

Цитата:

Ну вот подумайте теперь над предложением Хорхе.

Что-то светлые мысли пока в голову не приходят

Цитата:

Можете еще про характеристические функции почитать.

Вы имеете ввиду свойство - при суммировании независимых случайных величин их характеристические функции перемножаются?

-- 23.12.2011, 02:50 --

Вероятно, идея Хорхе заключается в том, чтобы разложить характеристическую функцию биномиального распределения $(q+pe^{it})^{n}$ на множетели и показать, что эти множетели также являются характеристическими функциями биномиального распределения?

-- 23.12.2011, 03:07 --

А на множетели разложить, представив $n=m+k$. И тогда получится, что случайная величина, распределенная по биномиальному закону, равна сумме сулчайных величин, распределенных по биномиальному закону, с параметрами $(m,p)$ и $(k,p)$.

[Хорхе]

Я про характеристические функции ничего не говорил. Но можно и так.

[aux]

Цитата:

Но можно и так.

Так что, решение через характеристические функции не должно вызвать аллергию у преподавателя?