Доказать "простое" тождество

[endemic]

Доброго времени суток, уважаемые форумчане.

Один знакомый подкинул мне пример, правда не сказал откуда, школа или институт. Пример выглядит так:

$$ \frac{a^2 b^2 c^2}{(a-d) (b-d) (c-d)}+\frac{a^2 b^2 d^2}{(a-c) (b-c) (d-c)}+ $$

$$ \frac{a^2 c^2 d^2}{(a-b) (c-b) (d-b)}+\frac{b^2 c^2 d^2}{(b-a) (c-a) (d-a)}= $$

$$ = a b c+a b d+a c d+b c d$$ $$

Надо доказать тождество.
Я предпочел перевести в общий вид:

$$ \sum_j \prod_{i \ne j} \frac{x_i ^2}{(x_i-x_j)}= \sum_j \prod_{i \ne j} x_i $$

Таким образом для меня задача расширилась. Возможно ли решить это в общем виде? Для какого количества переменных верно тождество?

Я перенес все в левую часть

$$ \sum_j \prod_{i \ne j} \frac{x_i ^2}{(x_i-x_j)}- \sum_j \prod_{i \ne j} x_i=0 $$

Вынес одно произведение из скобки и избавился от j

$$ \sum_j \frac{1}{x_j}\prod_{i}x_i \left(\prod_{i \ne j}\frac{x_i}{(x_i-x_j)}-1\right)=0 $$

После этого сократил на это произведение:

$$ \prod_i x_i \sum_j \frac{1}{x_j}\left(\prod_{i \ne j}\frac{x_i}{(x_i-x_j)}-1\right)=0 $$

$$ \sum_j \frac{1}{x_j}\left(\prod_{i \ne j}\frac{x_i}{(x_i-x_j)}-1\right)=0 $$

Дальше как-то не идет. Каким образом двигаться дальше? И вообще, возможно ли решение в общем виде?

[alcoholist]

тождество верно при $n=2,3$ и, судя по задаче, для $n=4$

похоже на какие-то производные

[bnovikov]

endemic в сообщении #518658 писал(а):

Доброго времени суток, уважаемые форумчане.

Один знакомый подкинул мне пример, правда не сказал откуда, школа или институт. Пример выглядит так:

$$ \frac{a^2 b^2 c^2}{(a-d) (b-d) (c-d)}+\frac{a^2 b^2 d^2}{(a-c) (b-c) (d-c)}+ $$

$$ \frac{a^2 c^2 d^2}{(a-b) (c-b) (d-b)}+\frac{b^2 c^2 d^2}{(b-a) (c-a) (d-a)}= $$

$$ = a b c+a b d+a c d+b c d$$ $$

Пусть $a_1,\ldots,a_n$ - не равные между собой числа, $P=a_1\ldots a_n$. Построим по интерполяционной формуле Лагранжа многочлен $f(x)$ степени $n-1$, такой что $f(a_i)=(-1)^{n-1}P/a_i$. Тогда эта сумма (не хочу ее писать) при $x=0$ совпадает с суммой в левой части Вашего равенства (конечно, при произвольном $n$). Осталось найти $f(0)$.

Для этого рассмотрим многочлен $g(x)=xf(x)-(-1)^{n-1}P$. Его корнями являются все $a_i$, так что $xf(x)=\alpha (x-a_1)\ldots(x-a_n)-(-1)^{n-1}P$. На самом деле, $\alpha=1$, т.к. $xf(x)$ не имеет свободного члена. Поэтому

$$ f(0)=\lim_{x\to 0}\frac{(x-a_1)\ldots(x-a_n)-(-1)^{n-1}P}{x}. $$

Вычисляем и получаем то, что хотелось.

[endemic]

Спасибо за помощь