Вероятность того, что корни кв. уравнения комплексные

[final_sleep]

Найти вероятность того, что функция $x^{2}-2ax+b$ имеет комплексные корни, если коэффициенты $a$ и $b$ являются независимыми случайными величинами, распределенными показательно с параметром $\alpha$.

Как решал я:

Если у уравнения есть комплаксные корни, значит его дискриминант будет меньше нуля, т.е. нам необходимо найти вероятность $P\{(4a^{2}-4b)<0\}$.

Воспользуемся формулой показательного распределения с параметром $\alpha>0$:
$\begin{equation*} f(x) = \begin{cases} \alpha e^{-\alpha x},&\text{если }\, x \geq 0,\\ 0 ,&\text{иначе.} \end{cases} \end{equation*}$

На 4 можем сократить.

Сначала найдем плотности распеределения следующих величин:
1. $p(a^2)$
$\Longrightarrow p_{1}(a^2)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot \alpha\cdot e^{-\alpha\cdot \sqrt{x}}, x\geq 0$
2. $p(-b)$

$\Longrightarrow p_{2}(-b)=\alpha\cdot e^{\alpha\cdot x}, x\leq 0$
3. $p(a^2-b)$
Для нахождения плотноти распределения $p(z)$ воспользуемся формулой:
$p(z)=\int \limits_{-\infty}^{\infty} f_1(x)\cdot f_2(z-x)dx,$
либо по равносильной формуле:
$p(z)=\int \limits_{-\infty}^{\infty} f_1(z-y)\cdot f_2(y)dy.$

Найдем $p(z)=\int \limits_{z}^{\infty} \frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot \alpha\cdot e^{-\alpha\cdot \sqrt{x}}\cdot\alpha\cdot e^{\alpha \cdot (z-x)}dx=\frac{\alpha^2}{2}\cdot e^{\alpha\cdot z}\cdot \int \limits_{z}^{\infty} \frac{e^{-\alpha \cdot \sqrt{x} -\alpha \cdot x} }{\sqrt{x}}dx$
* не берущийся интеграл получается.

Дальше, чтобы найти вероятность нужно интегрировать в пределах $(-\infty,0)$, полученную шагом ранее, плотность распределения от суммы случайных величин.

[_hum_]

Вы идете сложным путем. А для того чтобы найти вероятность события, связанного с некоторой случайной величиной вида $\zeta = g(\xi, \eta)$, не обязательно знать ее плотность распределения. Достаточно уметь вычислять события, связанные с парой случайных величин $(\xi, \eta)$, из которых эта c.в. получена. Действительно, ведь, например, событие "значение с.в. $\zeta$ меньше нуля" в точности совпадает с событием "значение пары $(\xi, \eta)$ попадает в множество, где функция $g = g(x,y)$ принимает значения меньше нуля":

$$\mathbf{P}\big(\zeta< 0\big) = \mathbf{P}\big(g(\xi, \eta) < 0\big) = \mathbf{P}\big((\xi, \eta) \in \{(x,y): g(x,y) < 0\}\big). $$

[final_sleep]

То что вы написали, вроде бы понятно. Но не понятно как быть дальше. Не могли бы еще немного подсказаать?

[_hum_]

А дальше воспользоваться тем, что, как и в одномерном в случае, в двумерном для всякого случайного вектора $\vec{\xi}$, коим является пара $(\xi,\eta)$, если имеется его плотность распределения $f_{\vec{\xi}} = f_{\vec{\xi}}(\vec{x}) = f_{\vec{\xi}}(x,y)$, то вероятность любого события, связанного с попаданием значения этого вектора в множество $B \subset \mathbb{R}^2$ можно найти через двумерный интеграл от плотности по этому множеству:

$$ \mathbf{P}(\vec{\xi} \in B) = \int_B f_{\vec{\xi}}(\vec{x}) = \int_B f_{\vec{\xi}}(x,y) dxdy.$$

В вашем случае с.в. $\xi, \eta$ независимы, а значит, совместная плотность $f_{\vec{\xi}}(x,y)$ может быть выражена через известные в данной задаче плотности $ f_\xi(x), f_\eta(y)$.

[final_sleep]

Спасибо! Вопрос снят!