Integral

[man111]

$ \displaystyle\int \frac{x}{\sqrt{(7x-10-x^2)^3}}dx$

[gris]

А разве метод неопределённых коэффициентов не сработает? Общий вид первообразной просматривается достаточно легко.

+ Раз никто не пишет, то продолжу стариковское ворчание (или подростковое — средние школьники те ещё ворчуны).

Почему-то все быстро забывают, что неопределённое интегрирование есть "действие", обратное дифференцированию. Попросите своего аспиранта взять неопределённый интеграл, а потом проверить ответ (не решение!). Он/она кинется проверять свои выкладки, но и не подумает продифференцировать ответ. Даже, когда первообразная достаточно транспарентна, интеграторы ладят замены, подстановки и части, но никак не пробуют выписать общий вид первообразной. В известной книге "Интегралъ. Как решить его"... Впрочем, не буду оффтопить.
Кстати, я и не проверял, вдруг там какие-нибудь логарифмы вылезут. Недаром изобретательный автор поместил задачу в олимпиадный раздел.

++ Поскольку снова никто не пишет, попробую решить задачу.
Подынтегральная функция имеет вид $P_1\cdot Q_2^{-3/2}$.
Логично предположить, что первообразная имеет вид $R_1\cdot Q_2^{-1/2}$.
Дифференцируем и приравниваем.

$$\left((ax+b)\cdot (7x-10-x^2)^{-1/2}\right)'=x\cdot (7x-10-x^2)^{-3/2}$$

$$a(7x-10-x^2)^{-1/2}+(ax+b)\cdot (7-2x)\cdot (-1/2)\cdot (7x-10-x^2)^{-3/2}=x\cdot (7x-10-x^2)^{-3/2}$$

$$a(7x-10-x^2)+(ax+b)\cdot (7-2x)\cdot (-1/2)=x$$

Подставляем пару значений $x$ и система благополучно разрешается: $a=\dfrac {14}9 ; b=-\dfrac{40}9$

Ответ: $-\dfrac {14x-40}{9\sqrt{7x-10-x^2}}+C$

Ответ не проверял, но надеюсь, что он верен.

[man111]

Thanks gris

but i can not understand why we equate

$$\left((ax+b)\cdot (7x-10-x^2)^{-1/2}\right)'=x\cdot (7x-10-x^2)^{-3/2}$$

[gris]

man111, со своим отвратительным произношением не рискну ответить на английском.
Нет учебников под рукой, но сдаётся, что этот случай разобран и, вероятно, решается проще через какие-нибудь подстановки Эйлера.
Я именно о самом методе.
Например, $\int (7x-14)^2+(8x-16)^2-3x^2+(4x-12)^2+3\, dx$.
Вместо того, чтобы раскрывать скобки и приводить подобные, копаться в таблице интегралов, я могу просто догадаться об общем виде первообразной, продифференцировать её и приравнять производную подынтегральному выражению.
$\left (ax^3+bx^2+cx\right )'=(7x-14)^2+(8x-16)^2-3x^2+(4x-12)^2+3$.
Потом подставить три значения $x=2; x=3; x=0$ и сразу получить ответ.
А такой пример: $\int x^9\cdot e^x\, dx$. Девять раз по частям. А не проще написать, что первообразная равна $P_9(x)\cdot e^x\,?$

Откуда при дифференцировании может взяться степень $-\dfrac 32\,?$ Разумеется, только из $-\dfrac 12\,.$
А испрашиваемое Вами равенство отражает тот факт, что производная первообразной равна подынтегральной функции.

[VPro]

Этот интеграл легко берется "школьными" методами. Сначала выделяем полный квадрат:
$ \displaystyle\int \frac{xdx}{\sqrt{(7x-10-x^2)^3}}=\int \frac{xdx}{\sqrt{(9/4-(x-7/2)^2)^3}}= \frac{8}{27}\int \frac{xdx}{\sqrt{\left(1-\left(\frac{2(x-7/2)}3\right)^2\right)^3}}=$...
Потом делаем замену $y=\frac{2x-7}{3}$:
$\displaystyle=\frac{2}{9}\int {\frac{(3y+7)dy}{\sqrt{(1-y^2)^3}}=$...
и, наконец, замена $y=\sin t$ приводит к легкому интегралу:
$\displaystyle=\frac{2}{9}\int {\frac{(3\sin t+7)dt}{\cos^2t}}=\frac{2}{9}\left( \frac{-3}{\cos t}+7\tg t\right).$

[man111]

Thanks Vpro and Gris