2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Минимум дифференцируемой сильно выпуклой функции
Сообщение21.12.2011, 23:30 
Друзья, бьюсь тут над вроде простой задачкой, но какой-то затык - помогите пожалуйста!

Нужно доказать, что дифференцируемая сильно выпуклая функция на действительной оси достигает минимума. Как решаю:
из сильной выпуклости следует неравенство
$f(x)\leqslant f(x+y)-(\operatorname{grad}(f(x)),y)-l||y||/2$
Также есть теорема Вейерштрасса, гласящая, что если функция f(x) непрерывна на действительной оси и множество {x: $f(x)\leqslant a$} для некоторого а непусто и ограничено, то существует точка глобального минимума.

Помогите пожалуйста связать одно с другим!

 
 
 
 Re: Минимум дифференцируемой сильно выпуклой функции
Сообщение22.12.2011, 10:31 
экспонента вроде не достигает

 
 
 
 Re: Минимум дифференцируемой сильно выпуклой функции
Сообщение22.12.2011, 10:43 
Аватара пользователя
Экспонента вроде и не сильно выпуклая. Сильно выпуклая функция ограничена снизу параболой и её область определения можно сузить до отрезка на прямой (или до ограниченного множества в конечномерном пространстве).

 
 
 
 Re: Минимум дифференцируемой сильно выпуклой функции
Сообщение22.12.2011, 20:31 
В книге Ахмерова в определении похоже опечатка в формуле, плюс вместо минуса.
У него получается что просто выпуклая и сильно, что конечно нелогично.
А задача эта там похоже решена.

 
 
 
 Re: Минимум дифференцируемой сильно выпуклой функции
Сообщение25.12.2011, 20:29 
Спасибо большое за источник!

 
 
 
 Re: Минимум дифференцируемой сильно выпуклой функции
Сообщение26.12.2011, 18:25 
В принципе тут наверное возможны обобщения: разложить разность $f(x+y)-f(x)$ в ряд и требовать, чтобы сколько то слагаемых были неотрицательны.

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group