вычислить кривизну кривой

[sandrachka]

здравствуйте, многоуважаемые участники форума! есть задача: вычислить кривизну кривой

$$x=a*cos^ {3}(t)$$

$$y=a*sin^{3}(t)$$

по общей формуле для вычисления кривизны я получила

$$k(t)=(18k(cos^{2} (t)*sin(t)+sin^{2}(t)*cos(t))/((3cos^{2}(t))^2 +(3sin^{2}(t))^2)^{3/2}$$

скажите, люди добрые, правильно ли это и можно и нужно ли это выражение как-то преобразовывать??? зараннее спасибо за помощь!

[Алексей К.]

Упростить (преобразовать) можно. Нельзя не упрощать. Нельзя не выносить за скобки общие множители. Нельзя писать монстра $(3 cos^2(t))^2$, на самом деле равного $9\cos^4 t$.
И нужно писать правильно формулы: \sin t, \cos t. А не sin(t). Будет на порядок меньше скобок, и люди смогут прочесть написанное.
И при наборе формул Вам указывали на это, и на эти непонятные звёздочки.
А Вы эти указания игнорируете.

А сосчитано, очевидно неправильно: размерность кривизны --- $a^{-1}$. А у Вас там ерунда какая-то.

-- 21 дек 2011, 13:25:20 --

Выписывайте, что ли, производные: Вы, похоже, не умеете дифференцировать. $(\cos^3 t)'=?$

[AKM]

Пожалуйста, исправьте написание формул. Заодно предлагаю исправить и Ваши "вычисления", сделанные уж очень тяп-ляписто.
Используйте кнопку для редактирования своего сообщения.

Тема перемещена из "Помогите решить (М)" в карантин. Как исправите - пишите сюда, чтобы тему вернули.

[sandrachka]

здравствуйте, многоуважаемые участники форума! дана задача: вычислить кривизну кривой $x=a(\cos^{3} t)$ $y=a(\sin^{3}t)$
по общей формуле получила: $k(t)=2/((\sin t)+(\cos t))^{3/2}$
надеюсь, что в этот раз я не сделала таких глупых ошибок как в прошлый. вопрос: правильно ли я решила задачу и можно ли приобразовать это решение? заранее спасибо за ответы!

AKM:

Вообще-то у нас правило есть: тема, вынесенная в Карантин, должна исправляться в Карантине, а не дублироваться.

Темы объединены, $\sin 3t$ исправлен на куб.

[Circiter]

У вас там наверное имелось ввиду не $y=a\sin 3t$, а $y=a\sin^3t$, так? После подстановки в общую формулу на первом шаге у меня стало вырисовываться что-то вроде $2|\sin^3t+\cos^3t|/\big\{3a(\sin^4t+\cos^4t)^{3/2}\big\}$. Непонятно, куда у вас $a$ делось из конечной формулы...

[ИСН]

Circiter, Вы переборщили с угадыванием. Я думаю, это не имелось в виду. (Upd. Всё-таки имелось. Шикарно. Но anyway.) Не надо подкидывать дров на тропинку человеку, где и так уже вырыто две глубоких ямы: а как же вторая производная? а как же эти маленькие двоечки сверху?

[Алексей К.]

sandrachka в сообщении #518172 писал(а):

надеюсь, что в этот раз я не сделала таких глупых ошибок как в прошлый.

Сделали. И я Вам уже писал:

Алексей К. в сообщении #518002 писал(а):

Выписывайте, что ли, производные: Вы, похоже, не умеете дифференцировать. $(\cos^3 t)'=?$

Чему? Равна? Производная? Этой? Функции?

-- 22 дек 2011, 14:28:01 --

(Circiter)

Circiter

чо-то у меня ничего похожего на Ваш результат не возникает. Кривулька вроде как астроида, которая зачастила на форум в последнее время, а у неё кривизна в уголках должна в бесконечность идти, иначе она не сможет так резко на 180 градусов поворачиваться. Ваши $\cos^4+\sin^4$ в знаменателе такой возможности ей не предоставляют.

[alcoholist]

Полезно знать названия некоторых кривых

-- Чт дек 22, 2011 18:11:35 --

sandrachka в сообщении #518172 писал(а):

по общей формуле получила: $k(t)=2/((\sin t)+(\cos t))^{3/2}$

очень близко

[sandrachka]

здравствуйте!
дано

$$x=a(\cos^{3} t)$$

$$y=a(\sin^{3} t)$$

$$x'=(-3a\sin^{2} t)$$

где ошибка???

[ИСН]

Нет, давайте всё-таки формулами.
Upd. Ага, так лучше. Ну что. Освежите у себя правила взятия производных.

[zhoraster]

Возвращено из карантина. В следующий раз в заявке на возвращение из карантина не забудьте дать ссылку в духе

Цитата:

тема вычислить кривизну кривой исправлена.

[Алексей К.]

sandrachka в сообщении #518596 писал(а):

дано

$$x=a(\cos^{3} t)$$

$$x'=(-3a\sin^{2} t)$$

где ошибка???

Здесь ошибка. Это неправильная производная. Тема: производная сложной (кажется) функции. Дважды писал уже.

-- 22 дек 2011, 22:31:47 --

Да не рисуйте Вы эти лишние скобочки. В процитированных выражениях никакие скобки не нужны.

[sandrachka]

ничего не понимаю! :(
аргумент у косинуса в первой степени. от квадратичной функции производную взяла от косинуса тоже. что еще нужно понять не могу.

-- 22.12.2011, 23:14 --

поправлю себя. производная от кубической функции, конечно.

[Nemiroff]

sandrachka в сообщении #518679 писал(а):

ничего не понимаю! :(
аргумент у косинуса в первой степени. от квадратичной функции производную взяла от косинуса тоже. что еще нужно понять не могу.

-- 22.12.2011, 23:14 --

поправлю себя. производная от кубической функции, конечно.

Ну неправильно. Производная берется от кубической функции, предполагая аргумент независимой переменной. А потом умножается на производную от этого аргумента.

Поясняю: $(\sin^2 x)'=(\sin x \cdot \sin x)'=\sin x \cos x + \cos x \sin x = 2\sin x \cos x$
$(\sin^2 x)'=2\sin x \cdot (\sin x)'=2\sin x \cos x$
Вообще, дифференцировать надо уметь.

[Алексей К.]

$$x'_t=\frac{d(\cos^3 t)}{dt}=3\cos^2 t\cdot\frac{d(\cos t)}{dt}=3\cos^2 t\cdot (-\sin t)=-3\sin t \cos^2 t$$

Вы достали, любезная sandrachka, своим нежеланием почитать учебник. И вот я в этой теме вот-вот напишу сообщение номер 3000, и к юбилею получу втык от модератора за...

-- 22 дек 2011, 23:32:17 --

Ну, про множитель $a$ забыл, сами сумеете приписать?

-- 22 дек 2011, 23:36:00 --

Извольте теперь $y'_t$ выписать.

-- 22 дек 2011, 23:40:04 --

Блин, а в кривизне ещё и вторые производные фигурируют. Т.е. я здесь до 4000 дойду?