Несколько задач по теории функций комплексного переменного

[ZooMik]

1. Дана функция:

$$f(z)=\frac{z}{z^2+1}\cos(\frac{1}{z})$$

необходимо найти все особые точки, определить их характер и найти вычеты в них, включая бесконечно удаленную точку.
очевидно, что тут 3 особые точки: $Z_1=i; Z_2=-i; Z_3=0$. C $Z_1 и Z_2$ все понятно, это полюсы и вычеты мы в них посчитаем без проблем. Но вот с $Z_3$ возникли проблемы. Как я понимаю, мы считаем предел:

$$\lim_{z_3\to,0} f(z)$$

. Но он равен либо 0 либо не определен, т.к. $\cos(\infty)$ а его точно определить нельзя. В итоге получаем что характер точки: либо устранимая особая точка, либо существенно особая.


2. Разложить функцию

$$f(z)=\frac{1}{(z-i)(z^2+4)}$$

в ряд Лорана в окрестности: $1<|z|<2$
Немного не понимаю, что означает разложить в окрестности.. Пока только сделал следующее

$$\frac{1}{(z-i)(z^2+4)}=\frac{1}{(z-i)(z-2i)(z+2i)}=\frac{A}{z-i}+\frac{B}{z-2i}+\frac{C}{z+2i}$$

Нашли коэффициенты:

$$A=\frac{1}{5}; B=\frac{1}{-8-4i}; C=\frac{1}{-8+4i}$$

Ну потом подставили в формулу..упростили, вынесли 2i получили в итоге, если нигде не ошибся:

$$\frac{1}{5(z-1)}+\frac{1}{(-8+16i)(1-\frac{z}{2i})}+\frac{1}{(-8-16i)(1+\frac{z}{2i})}$$

дальше раскладываем в ряд Тейлора... правильно я мыслю? но зачем тогда $1<|z|<2$...

вот и все собственно.. Помогите кто чем может)) заранее спасибо

[Sonic86]

ZooMik в сообщении #517875 писал(а):

Но вот с $Z_3$ возникли проблемы. Как я понимаю, мы считаем предел:

$$\lim_{z_3\to,0} f(z)$$

. Но он равен либо 0 либо не определен, т.к. $\cos(\infty)$ а его точно определить нельзя. В итоге получаем что характер точки: либо устранимая особая точка, либо существенно особая.

Значит предел именно не определен. Соответственно тип точки какой? И как считать в нем вычет?

ZooMik в сообщении #517875 писал(а):

дальше раскладываем в ряд Тейлора... правильно я мыслю? но зачем тогда $1<|z|<2$...

Для простоты разложите $g(z)=\frac{1}{1-z}$ в ряды Лорана при $|z|<1$ и при $|z|>1$, причем обратите внимание на сходимость получаемых рядов - где они сходятся. А потом делайте свой пример аналогично.