Мат.анализ

[Andrei94]

1) Разложить Тейлора в ряд до $x^{13}$

$y(x)=\sqrt[3]{\sin x^3}$

Тут нужно раскладывать сначала синус или степень?

$$y(x)=\sqrt[3]{\sin x^3}=(\sin x^3)^{1/3}=[x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+$$

$$+\frac{x^9}{9!}-\frac{x^{11}}{11!}+\frac{x^{13}}{13!}+O(x^{15}}]^{1/3}=1+...$$

Можно ли так?

2)

Нужно построить график

$y(x)=\sin x\sin{3x}$

Тут период $3\pi$ Можно ли расcмотреть $x\in[0;3\pi]$, a потом обобщить на $R$?


3) Вычислить приближенно $\sqrt[3]{30}$

Как здесь поступить? Можно так?

$\sqrt[3]{30}=\sqrt[3]{3^3(1+\frac19)}$=3\sqrt[3]{1+\frac{1}9}=3(1+\frac19\cdot \frac13+...+)\approx\frac{3\cdot 28}{27}=\frac{28}{9}\approx 3

[Sonic86]

Andrei94 в сообщении #517802 писал(а):

Можно ли так?

Да, это самый простой способ, хотя и не очень легкий (т.е. общую формулу я не вижу). Интересно, как сделать проще?

Andrei94 в сообщении #517802 писал(а):

Тут период $3\pi$ Можно ли расcмотреть $x\in[0;3\pi]$, a потом обобщить на $R$?

Нет. Ряд все равно один и тот же будет. Представляйте произведение синусов в виде суммы триг. функций.

Andrei94 в сообщении #517802 писал(а):

Как здесь поступить? Можно так?

Да, только последнее округление не нужно (оно убивает всю найденную информацию)

[Andrei94]

Спасибо)

[ewert]

Andrei94 в сообщении #517802 писал(а):

Тут нужно раскладывать сначала синус или степень?

Естественно, сначала (т.е. внутри) -- синус, но с прицелом на последующее разложение уже степени по этим синусам. Там получится нечто типа

$\sqrt[3]{x^3+x^9+x^{15}+...}=x\,\sqrt[3]{1+x^6+x^{12}+...}$

(остальное несущественно, а коэффициенты добавьте по вкусу). И при последующем разложении уже корня достаточно учитывать учитывать лишь первую и вторую степени поправки к единичке (притом последняя-то совсем тривиальна).

[Klad33]

Первая задача оказалась необычайно сложной. Получилось след.:

$\sqrt[3]{\sin (x^3)}\approx x-\frac{x^7}{2\cdot 3^2}-\frac{x^{13}}{2^3 3^4 5}-\frac{53 x^{19}}{2^4 3^7 5\cdot 7}-\frac{191x^{25}}{2^7 3^9 5^2}-$

$-\frac{20353x^{31}}{2^8 3^{11} 5^2 7 \cdot 11}-\frac{31 \cdot 518729 x^{37}}{2^{10} 3^{14} 5^2 7^2 11 \cdot 13}-...$

Аппроксимация довольно некудышная:



Красный цвет - это оригинал, зеленый - полином. Только одну правую полуволну верно повторил... (и то - отрицательных значений быть не должно).

[Andrei94]

Спасибо! Там же до $x^{13}$ нужно было!!!

[srm]

Klad33 в сообщении #520813 писал(а):

Аппроксимация довольно некудышная:

Радиус сходимости учли?

[ИСН]

Это оригинал у Вас никудышный. Отрицательных не должно быть, говорите? А чему, интересно, равен $\sqrt[3]{-1}$?

[sergei1961]

Нечётная функция всегда принимает отрицательные значения. А в ряд я бы сначала выразил синус через косинус, применио бином. В общем виде не думаю, что существует общая формула для разложения.

[ewert]

ИСН в сообщении #520968 писал(а):

А чему, интересно, равен $\sqrt[3]{-1}$?

Минус единице, естественно. Ежу понятно, что имелась в виду главная ветвь (и любому ежу, конечно, понятно, что понимается под "главной") этой функции.

[ИСН]

Да это понятно всё. Я интересовался, с чего это Klad33 взял, что - - -