Помогите доказать независимость величин.

[mms1966]

Помогите решить задачу. Доказать, что если величины $\xi$ и $\eta$
независимы и нормально распределены с параметрами $a_1=a_2=0$ и $\sigma_1=\sigma_2=\sigma$
то величины $\xi^2+\eta^2$ и $ \xi / \eta $ также независимы.
Найдена плотность распределения одной и другой искомой величины (суммы квадратов и частного). Дальше
хочу применить критерий независимости Р (x,y) $=$ Р (x) $\cdot$ Р (y) , но не знаю, как найти совместную
плотность распределения P(x,y).

[--mS--]

Ну например, можно начать с поиска функции распределения пары $\mathsf P\left(\xi^2+\eta^2 < x, \, \frac{\xi}{\eta} < y\right)$. Эта вероятность записывается двойным интегралом по области $\{ (u, v) \, | \, u^2+v^2 < x,\, u/v < y \}$, в котором полезно перейти к полярным координатам.

[mms1966]

Функция распределения пары, если я правильно помню, равна интегралу плотности распределения.
А с поиском плотности пары у меня как раз и проблемы. Или я что-то не так понимаю?

[--mS--]

Да, что-то не так понимаете. Определение функции распределения вектора из двух случайных величин знаете? Прочтите написанное выше.

Вообще, уже очень хочу увидеть доказательство Ваших слов: "Найдена плотность распределения одной и другой искомой величины". Каким образом они найдены и кем?

[mms1966]

Плотность распределения частного двух нормальных независимых величин найдена по стандартной формуле.
Получилось $\frac {1}{\pi(1+x^2)}$. Для суммы
квадратов также получилось $\frac{\exp(-x/(2\sigma^2))}{2\sigma^2}$.
Найдено мной. (с некоторой помощью). Все решение здесь приводить будет очень долго.

[ИСН]

Что такое x?

-- Вт, 2011-12-20, 22:18 --

А также чему должен равняться интеграл от плотности по всей прямой?

[mms1966]

Интеграл по х от плотности по всей прямой должен равняться 1.

[ИСН]

Ну?

[mms1966]

Извините, не понял. Как я понял, мне нужна функция распределения от двух аргументов, т.е. вектора двух случайных величин. Если бы у меня была плотность распределения вектора, я бы взял интеграл по плоскости при х<u и y<v и нашел бы функцию распределения от u,v. У меня есть только плотности распределения компонентов. Я могу найти функции распределения компонентов. Но, извините, как мне все таки доказать, что указанные в задаче величины независимы?

[ИСН]

Возможно, я был излишне лаконичен. Моё "ну" намекало на сопоставление получившихся функций плотности с информацией о том, чему должен быть равен интеграл от них по всей прямой.

[mms1966]

Сопоставляю. Для полученной формулы частного единица по всей прямой получается. Для суммы квадратов берем от 0 до бесконечности, так как сумма квадратов не может быть меньше нуля. Тоже получаем 1. Вроде формулы похожи на правильные. Или что-то не так?

[ИСН]

Ах, там это. Больше нуля. Ну да, конечно.
Так.
Тогда, короче, как Вы и говорили, надо находить совместную плотность. Да ведь она уже есть. Ведь это её интегрируют по одной переменной, чтобы получить распределение другой.

[mms1966]

Еще чуть-чуть подскажите, и до меня дойдет. Чувствую, что решение где-то рядом, но пока до конца не понимаю.

[ИСН]

Ну Вы как эти плотности получили? Ведь там был, наверное, задействован какой-то интеграл, нет?

[--mS--]

До меня дошло. Вы непременно хотите знать плотности $\xi^2+\eta^2$ и $\xi/\eta$, чтобы найти вероятность этим величинам быть меньше $x$ и $y$ соответственно? Это ни к чему. Используйте плотность $(\xi, \eta)$ для вычисления любых вероятностей, связанных с парой этих величин, просто по определению: $\mathsf P((\xi,\eta)\in B)=\iint_B f_{\xi,\eta}(u,v)dvdu$.
Напишите, как выглядит множество $B$ в этом определении, если слева стоит вероятность $\mathsf P(\xi^2+\eta^2 < x, \, \xi/\tea < y)$.