Теорема Машке если char F делит G

[sasha_vertreter]

Добрый день, натолкните на мысль, пожалуйста.

Мне надо понять почему теорема Машке на работает, если char F делит порядок группы. Дело ли в прямом произведении? или в этом случае всегда есть возможность построить такой FG-модуль, который имеет только единственный FG-подмодуль?

[Leox]

Наверное не для каждого $G$-инвариантного подмодуля можно построить инвариантное дополнение.
Нужно почитать что-то из модулярной теории представлений, там доказаны ослабленные теоремы разложения.

[sasha_vertreter]

а правильно будет сказать, что если есть подмодуль $U$, то инвариантное дополнение $U'$ есть ядро FG гомоморфизма проекции $\vartheta: G \to U$?

[lofar]

Если $char(F)$ делит $|G|$, то $FG$ содержит ненулевой нильпотентный элемент $x=\sum_{g\in G}g$ ($x^2=|G|x=0$). Следовательно кольцо $FG$ не полупросто (проверьте, что идеал порожденный $x$ не выделяется прямым слагаемым).

[sasha_vertreter]

да, спасибо, пошел проверять.